6.2. Основные определения.

Начнём с того, что уточним постановку задачи (6.1)-(6.4) .

Определение 6.2. Точку , удовлетворяющую всем ограничениям (6.2)-(6.3), назовем допустимым решением или планом ЗНП. Совокупность всех планов обозначим через P. Таким образом, ЗНП можно записать в виде:

(6.5)

Для уточнения постановки ЗНП необходимы такие понятия как: точка минимума и максимума, наименьшее и набольшее значение, нижняя и верхняя грань функции на множестве P, минимизирующая и максимизирующая последовательность, точка локального и глобального минимума и максимума, сходимость последовательности к заданному множеству и т.д., известные из классического математического анализа.

Определение 6.3. Точку называют точкой глобального минимума (максимума) функции на множестве Р, если ( ) для всех . Величину называют наибольшим или максимальным (наименьшим или минимальным) значением на Р.

Множество всех точек максимума на Р будем обозначать через P* . В зависимости от свойств множества Р и функции множество P* может содержать одну, несколько или даже бесконечно много точек, а также возможны случаи, когда P* пусто (см.пример 6.3).

В тех случаях, когда , естественным обобщением понятия наименьшего (наибольшего) значения функции является понятие нижней (верхней) грани функции.

Определение 6.4. Функция называется ограниченной снизу (сверху) на множестве Р, если существует такое число М, что ( ) для всех . Функция не ограничена снизу (сверху) на Р, если существует последовательность , для которой ( ).

Определение 6.5. Пусть функция ограничена сверху на множестве Р. Тогда f* называют верхней гранью на Р, если:

а) при всех ;

б) для любого сколь угодно малого числа найдётся точка

для которой .

Верхнюю грань на Р обозначают через .

Если функция не ограничена сверху на Р, то в качестве верхней грани на Р принимается .

Определение 6.6. Пусть функция ограничена снизу на множестве Р. Тогда число называют нижней гранью на Р, если:

a) при всех

б) для любого сколь угодно малого числа найдется точка , для которой .

Нижнюю грань на Р обозначают через .

Если функция не ограничена снизу на Р, то в качестве нижней грани на Р принимается .

Таким образом, запись ЗНП в форме (6.5) означает:

либо 1) найти точку такую что, или , данная форма записи возможна только в случае 1;

либо, если не существует такой точки ( ), то 2) найти ;

либо 3) убедиться, что не ограниченная сверху (снизу) на Р функция, т.е. ; ;

либо 4) убедиться в том, что Р пусто ( ).

Пример 6.3.

Пусть при и .

В ЗНП

и т.е. множество P* состоит из единственной точки.

В ЗНП

множество P* содержит 3 точки:

и .

В ЗНП

множество P* содержит счетное число точек:

и

В ЗНП

не имеет наименьшего значения на Р.

В самом деле, какую бы точку ни взять, найдётся точка (например, при достаточно большом k) такая, что .

Это значит, что пусто.

Пример 6.4.

Пусть при и . На множествах или эта функция не имеет наименьшего значения, т.е. , но

Пример 6.5.

В ЗНП , . , так как во всех точках из P функция принимает конечные значения, а для последовательности имеем , т.е. .

В примерах 6.3, 6.4 функции ограничены снизу на рассматриваемых множествах, а в примере 6.5 функция не ограничена.

Если , то, очевидно, нижняя грань совпадает с наименьшим значением этой функции на Р, т.е . В этом случае говорят, что функция на Р достигает своей нижней грани. Подчеркнем, что всегда существует, а , как мы видели из примеров 6.3, 6.4, не всегда имеет смысл.

Определение 6.7. Последовательность называется минимизирующей для функции на множестве Р, если

Из определения и существования нижней грани следует, что минимизирующая последовательность всегда существует.

Пример 6.6. Рассмотрим . Очевидно, здесь и множество Р* состоит из единственной точки x*=0. последовательность является минимизирующей , так как , но не стремится к нулю.

Определение 6.8. Функция достигает на замкнутом множестве в точке локального максимума, если существует число такое, что для всех , где