10.6. Теорема Куна-Таккера. Случай линейных ограничений

Рассмотрим следующую задачу выпуклого программирования

, (10.44)

, (10.45)

где – вогнутая функция, , , – заданные векторы.

Оказывается, если ограничения, задающие множество , линейны, то теоремы (10.5) и (10.6) справедливы без предположения о регулярности множества .

Теорема 10.7. Для того чтобы точка была решением задачи (10.44), (10.45), необходимо и достаточно существование такого , чтобы точка была седловой точкой функции Лагранжа задачи выпуклого программирования (10.44)-(10.45).

Доказательство.

Достаточность доказана в теореме 10.3.

Необходимость. Пусть точка является решением задачи (10.44), (10.45). Рассмотрим возможное направление из точки . Тогда по определению существует число , такое что при всех , . Так как , то

, . (10.46)

Введем множество индексов , . Тогда из (10.46) с учетом того, что , получим: если , то или , если , то , откуда или .

Рассмотрим конус

, (10.47)

где – j-й единичный вектор.

Очевидно, что любое возможное направление в точке принадлежит .

Обратно: если , то – возможное направление в точке . В самом деле, если , то и для всех и , а если , т.е. , то для всех , где – достаточно малое число. Если , то для всех и , а если , то и , при достаточно малом .

Таким образом, множество возможных направлений в точке представляет собой конус (10.47).

Для того чтобы было решением задачи (10.44),(10.45), необходимо выполнение неравенства

для всех . (10.48)

Возьмем любое . Тогда , , . Представим (10.48), откуда получим, что или для всех . Это означает, что . Тогда по теореме Фаркаша найдутся числа , и , , такие что

(10.49)

Если доопределить , , то получим вектор . Тогда , , (10.50)

т.е. доказано выполнение условий (10.14) теоремы 10.1.

Перепишем (10.49) в виде

. (10.51)

В задаче (10.44)-(10.45) функция Лагранжа имеет вид , , .

Используя неравенство для вогнутой функции

, получим:

или для всех , т.е. выполнено условие (10.13) теоремы 10.1.

Таким образом, из теоремы 10.1. следует, что – седловая точка функции Лагранжа задачи выпуклого программирования (10.44), (10.45).

Если в задаче (10.44), (10.45) функция является непрерывно-дифференцируемой, то справедлива теорема 10.8.

Теорема 10.8. Для того чтобы точка была решением задачи (10.44), (10.45), необходимо и достаточно существование такого , чтобы для точки выполнялись условия (10.18)-(10.23).

Глава 11. Квадратичное програмирование.

11.1. Постановка задачи квадратичного программирования (зкп)

Определение 11.1. ЗКП назовем следующую задачу:

(11.1)

, (11.2)

где – симметричная неположительно определенная матрица, – заданный вектор из , – заданная матрица, порядка , .

Так как функция

f(x)= (11.3)

является вогнутой ( – неположительно определенная матрица) , а ограничения (11.2) являются линейными, то ЗКП является задачей выпуклого программирования (ЗВП) с линейными ограничениями, следовательно, к ее решению можно применить теорию Куна-Таккера.

Замечание 11.1. Если матрица С является симметричной отрицательно определенной, то функция f(x) является сильно вогнутой, что гарантирует существование и единственность решения ЗКП.

ЗКП часто возникают в различных экономических приложениях (задача выбора портфеля ценных бумаг, задача построения регрессии при наличии ограничений и т.д.), кроме того они возникают как вспомогательные в составе различных методов оптимизации. Поэтому важно иметь достаточно простые методы решения ЗКП. Оказывается, что для ЗКП, как и для ЗЛП, существуют конечные методы их решения, например, основанные на теории Куна-Таккера.

Пример 11.1.

,

где ; ; ;

Пример 11.2.

,

где ; ; ; , так как в определении 11.1 , то вместо берем .