9. Выпуклые и вогнутые функции

9.1. Определения

Определение 9.1. Функция , определенная на выпуклом множестве , называется вогнутой (выпуклой) на этом множестве, если

(9.1)

для всех и всех , .

Определение 9.2. Если для любого неравенство выполняется как строгое, то функция называется строго вогнутой (выпуклой) на .

Функция называется выпуклой (строго выпуклой) на выпуклом множестве , если вогнута (строго вогнута) на множестве .

Замечание 9.1. Если множество пусто или состоит из одной точки, то функцию можно считать вогнутой (выпуклой) по определению.

Замечание 9.2. Линейная функция на всем пространстве является одновременно и вогнутой и выпуклой.

9.2. Свойства вогнутых (выпуклых) функций

Теорема 9.1. Если функции , , вогнуты (выпуклы) на выпуклом множестве , то функция вогнута (выпукла) на для всех , .

Теорема 9.2. Сумма строго вогнутой и вогнутой функций есть функция строго вогнутая.

Теорема 9.3. Если вогнута (выпукла) на выпуклом множестве и , , , , , то

(9.2)

Терема 9.4. Пусть – выпуклое множество, а функция выпукла (вогнута) на , тогда множество выпукло для любого ( – действительное число).

Если функция непрерывна на , а множество замкнуто, то множество замкнуто.

Доказательство. Возьмем произвольные , . Используя выпуклость множества и выпуклость функции , имеем , то есть . Следовательно, множество выпукло.

Пусть функция непрерывна на . Возьмем какую-либо предельную точку множества . Тогда существует последовательность , сходящаяся к . В силу замкнутости точка . Так как непрерывна в точке и , , то , т.е. . Следовательно, замкнуто.

Теорема 9.5. Пусть множество выпукло и . Тогда выпуклая (вогнутая) функция , определенная на , является непрерывной во всех внутренних точках этого множества.

Следствие. Если функция выпукла (вогнута) на всем пространстве , то функция непрерывна во всех точках.

Определение 9.3. Производной функции , определенной на множестве , в точке по направлению будем называть число .

Если функция дифференцируема на множестве , то имеет производные по всем направлениям в любой точке и .

Определение 9.4. Направление в точке называется возможным, если существует такое число , что для всех точки .

Очевидно, если , то любое направление в этой точке является возможным.

Теорема 9.6. Пусть множество выпукло и . Тогда вогнутая (выпуклая) функция , определенная на множестве , имеет в каждой внутренней точке этого множества производную по любому направлению .

Теорема 9.7. Пусть функция выпукла (вогнута) и не убывает в промежутке ( не исключается), функция выпукла (вогнута) на выпуклом множестве , причем для всех . Тогда функция является выпуклой (вогнутой) на множестве .

Следствия из теоремы 9.7.

1. Пусть функция и выпукла на выпуклом множестве , тогда функция при всех , будет выпуклой на .

2. Если функция выпукла на выпуклом множестве , то выпукла на и функция , .

3. Если функция и выпукла на выпуклом множестве , то выпуклы на и функции , , .