3.2. Основные теоремы двойственности

Рассмотрим не симметричную пару двойственных задач (3.7).

Прямая задача	Двойственная задача
(1) (2) (3)	(4) (5) не ограничен в знаке (6)

Теорема 3.2.

Пусть - планы соответственно исходной и двойственной ЗЛП,

тогда .

(3.15)

Доказательство.

Умножим равенство (2) на

Умножим неравенство (5) на

или

Откуда , т.е. _.

Теорема 3.3.

Пусть и - планы соответственно исходной и двойственной ЗЛП и ,

тогда и - решения соответственно исходной и двойственной задач, т.е. равенство целевых функций является достаточным условием оптимальности планов обеих задач.

Доказательство.

Пусть -произвольный план ИЗ, тогда в силу предыдущей теоремы для пары можно записать (3.15):

Следовательно:

, т.е. по определению 2.2 есть решение ИЗ.

Пусть , тогда в силу предыдущей теоремы для пары

Следовательно,

, т.е. решение ДЗ

Теорема 3.4.

Если ИЗ разрешима, то разрешима и ДЗ и наоборот, причем

Если ИЗ неразрешима, то ДЗ тоже неразрешима и наоборот. Пусть ИЗ разрешима и имеет вид основной ЗЛП:

(1)

(2)

(3)

Тогда ДЗ имеет вид (3.12,3.14):

(4)

(5)

(6)

Предположим, что исходная задача имеет решение, т.е. существует ее оптимальный план x*.

Приведем ИЗ к каноническому виду:

(1´)

(2´)

(3´)

Ее решение может быть получено симплекс – методом, т.к. расширенная матрица системы (2´) имеет вид К-матрицы. Исходную К- матрицу запишем в виде:

(7)

На S-ой итерации симплекс-метода получим матрицу , которая определяет оптимальный опорный план ИЗ:

, (8)

или в развернутом виде эти матрицы можно представить:

(7´)

(8´)

Вектор задает номера базисных компонент оптимального опорного плана ИЗ:

Векторы образуют базисную (единичную) подматрицу в матрице , следовательно, векторы исходной матрицы образуют базисную подматрицу в матрице , т.е.

Следовательно, матрицу , зная матрицу , можно получить из следующим образом : (9)

Матрица в матрице расположена на месте единичной подматрицы исходной матрицы . Из (9) следует, что (3.16)

, (3.17)

, (3.18)

т.е. вся необходимая информация может быть получена с помощью матрицы . Следовательно, можно перебирать не К-матрицы, а только обращенные базисы.

Так как на S-ой итерации получен оптимальный опорный план,

то отвечающие матрице симплекс – разности, являются неотрицательными

(3.19)

Или с учетом (3.17) получим:

(3.20)

Обозначим

(3.21)

Покажем, что вектор является решением двойственной ЗЛП.

Действительно, рассматривая первые n неравенств (3.20) и записывая их в векторно-матричной форме, имеем:

, или с учетом (3.21)

(3.22)

Аналогично, рассматривая неравенства (3.20) для j=n+1,n+m и учитывая, что

получаем

(3.23)

,

или

(3.24)

Из (3.22) и (3.24) следует, что - план двойственной ЗЛП.

Далее, т.к.

(3.25)

то, по теореме 3.3 - решение двойственной ЗЛП.

Пусть ИЗ не имеет решения. Предположим противное, что ДЗ имеет решение, тогда по доказанному в первой части теоремы его имеет и ИЗ. Что противоречит условию теоремы.

Следствие 1.

Из выражения (3.23)

, (3.26)

следует, что i-ая компонента решения двойственной ЗЛП есть (n+i)-я симплекс-разность матрицы , определяющей оптимальный план исходной ЗЛП.

Следствие 2.

Из выражения (3.21) следует, что j-я симплекс-разность матрицы (j=1,n) равна разности между левой и правой частями ограничений двойственной ЗЛП.

(3.27)

Следствие 3.

Из теорем 3.3 и 3.4 следует, что равенство целевых функций ИЗ и ДЗ является необходимым и достаточным условием оптимальности планов обеих задач.

Теорема 3.5.

Планы соответственно прямой и двойственной ЗЛП являются оптимальными тогда и только тогда, когда

(3.28)

Условия (3.28) называются условиями дополнительной нежесткости.

Необходимость.

Пусть и являются соответственно решениями ИЗ и ДЗ, тогда (1)

(2)

(3)

(теорема 3.4) (4)

Умножая равенство (1) слева на и учитывая (4), получим:

,

_откуда или _.

_{Достаточность.}

Пусть и являются соответственно планами ИЗ и ДЗ, для которых выполняется условие (3.28).

Для того чтобы доказать оптимальность этих планов, достаточно доказать равенство целевых функций ИЗ и ДЗ (Теорема 3.4, следствие 3).

Имеем:

(1)

(2)

(3)

(4)

Из (4) следует, что

(5)

Умножая равенство (1) слева на ,получим:

, (6)

т.к. ,то с учетом (5) и (6) имеем:

.

Примечание 1. Для основной ЗЛП и двойственной к ней ЗЛП условия нежесткости имеют вид:

. (3.29)

Примечание 2. Если прямая ЗЛП записана не в канонической форме, то условия дополнительной нежесткости для этой ЗЛП и двойственной к ней ЗЛП могут быть записаны в следующем виде:

если х_j^* > 0, то ,

если то y_i^* = 0, _(3.30)

если y_i^* > 0, то

если , то х_j^* = 0.

Теоремы 3.2-3.5 называются основными теоремами двойственности.

Кроме этих теорем можно доказать еще четыре теоремы двойственности.

Теорема 3.6.

Для существования решения одной из пары двойственных задач (и, следовательно, обеих) необходимо и достаточно непустоты множества планов P и Q.

Доказательство.

Необходимость: ИЗ разрешима, следовательно P – непустое множество, следовательно ДЗ разрешима (теорема 3.4), т.е. Q - непустое множество.

Достаточность:

Дано ø и ø,

Пусть - произвольный план ИЗ, а

- фиксированный план ДЗ.

По теореме 3.2:

,

следовательно ограничена сверху на ø , т.е по теореме Вейерштрасса ИЗ разрешима.

Пусть - произвольный план ДЗ, а

- фиксированный план ИЗ.

По теореме 3.2:

следовательно ограничена снизу на ø т.е. по теореме Вейерштрасса ДЗ разрешима.

Теорема 3.7.

Планы и оптимальны тогда и только тогда, когда

См. следствие 3 из теоремы 3.4.

Теорема 3.8.

Если функция не ограничена сверху ( - снизу) на множестве P(Q), то Q=ø (P=ø).

Доказательство (от противного):

Предположим, что ø ( ø), тогда по теореме 3.6 обе задачи разрешимы, что противоречит условию теоремы.

Теорема 3.9.

Если Ø ( Ø), а Ø ( Ø),

то Q – неограниченное множество и не ограничена снизу на нем (P –

неограниченное множество и не ограничена сверху на нем).

Доказательство (от противного): предположим, что Q – ограниченное множество, тогда по теореме Вейерштрасса ДЗ имеет решение, следовательно по теореме 3.4 ИЗ тоже разрешима, а это противоречит условию теоремы, что Ø.

Теорема 3.10.

Рассмотрим задачу оптимального планирования

при данном векторе запасов ресурсов . Назовем эту задачу . Предположим, что при данном конкретном значении вектора запасов все компоненты оптимального плана - строго положительны. Обозначим

оптимальное решение задачи, двойственной к - задаче. Тогда существует такое >0, что если , то:

1. ассортимент выпускаемой продукции в оптимальном плане - задачи остался прежним (но, вполне возможно, что количественно изменится);

2. кроме того, оптимальное решение задачи, двойственной к - задаче осталось неизменным, т.е. ;

3. кроме того, максимальная прибыль в - задаче выражается формулой где - максимальная прибыль в - задаче.

Доказательство этой теоремы довольно сложно и нам не нужно