Подставив (12) в (13), получим уравнение

.

Подставим (13) в полученное уравнение (вместо ):

Тогда t₁ из (12) равно

и, наконец,

Подставим (11), с учетом найденных констант в (1):

(15)

Исходя из начального условия и условия непрерывности, получим:

Таким образом, моменты переключения: t₁=1/4, t₂=3/4, а заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами.

Задача 6. Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:

где

.

Решение. Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n = 3);

Y = (B, AB, A²B):

Таким образом,

Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов, можно видеть, что

.

Следовательно, rank Y=3=n и система вполне управляема.

Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):

H=(C^T, A^TC^T, (A^T)² C^T);

.

Таким образом,

Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов, можно видеть, что

Таким образом, rank H = 3 = n, а следовательно, система вполне наблюдаема.

Задача 7. Для линейной системы и квадратичного критерия

выполнить синтез оптимального управления с обратной связью

A	B	Q	R
0 1 1 0	1 0	1 0 0 0	1

Решение. Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати:

-A-A^T+BR^-1B^T-Q=0,

где , причем матрица >0 (положительно определена).

.

Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящие на одинаковых местах, получим систему уравнений:

Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы , получим:

Тогда для уравнения, которое имеет вид

получим:

Литература

1. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. Учеб. пособие. – М.: В. Ш., 1989. – 263 с.

2. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. – М.:Машиностроение, 1962. – 764с.

3. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Косов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. – М.: В. Ш., 1998. – 565 с.

4. Беллман Р. Введение в теорию матриц. – М.: Наука, 1976. – 351 с.

5. Болнокин В.Е., Чинаев П.И. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы. – М.: Радио и связь, 1986. – 248с.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 552 с.

7. Денисов А.А., Колесников Д.И. Теория больших систем управления: Пособие для вузов. – Л.: Энергоиздат, 1982. – 288 с.

8. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. – М.: Наука, 1970. – 176 с.

9. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. – М.: Наука, 1981. – 336 с.

10. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. – М.: Мир, 1977. – 650 с.

11. Ландо Ю.К. Элементы математической теории управления движением: Уч. пособие. – М.: Просвещение, 1984. – 88 с.

12. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические системы. – М.: Машиностроение, 1982. – 504 с.

13. Математические методы принятия решений в экономике. Учебник. Под ред. В.А. Колемаева. – М.: ЗАО «Финстатинформ». 1999. – 378 с.

14. Медведев В.С., Потемкин В.Г. Control system toolbox. MATLab для студентов/Под общей редакцией к.т.н., В.Г.Потемкина. – М.: ДИАЛОГ – МИФИ, 1999. – 287 с.

15. Михайлов В.С. Теория управления. – К.: В. Ш., 1988. – 312 с.

16. Оптимальное управление. Сб. М.: «Знание», 1978. – 144 с.

17. Основы теории оптимального управления. Учеб. пособие для эконом. вузов/В.Ф. Кротов, Б.А. Лагоша, С.М. Лобанов и др.; Под. ред. В.Ф. Кротова. – М.: В.Ш., 1990. – 430с.

18. Павловский Ю.Н. Декомпозиция моделей управляемых систем. – М.: Знание, 1985. – 32 с.

19. Петров Ю.П. Вариационные методы теории оптимального управления. – М.: – Л.: «Энергия», 1965. – 220с.

20. Понтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении. – М.: Наука, 1989. – 64с.

21. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами. – М.: Радио и связь, 1982. – 392 с.

22. Справочник по теории автоматического управления. Под ред. А.А. Красовского. – М.: Наука, 1987. – 712 с.

23. Теория автоматического управления. Учеб. для вузов, ч. 2.Под ред. А.А. Воронова. – М.: В. Ш., 1986. – 504 с.

НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ