Позиції, що займають одиниці в одиничній матриці, вказують номера позицій контрольних символів, що використовуються у кожній перевірці на парність.

Перевірка прийнятих кодових комбінацій при цьому виконується шляхом підсумовування по модулю два перевірочних символів прийнятих кодових комбінацій і допоміжних перевірочних символів, обчислених по прийнятим інформаційним.

Состав контрольних рівностей легко визначається з перевірочної матриці . До складу першої контрольної рівності повинні входити символи, позиції яких зайняті одиницями в першому рядку матриці ; до складу другого – символи, позиції яких зайняті одиницями в другому рядку матриці і т.і. У результаті таких перевірок буде отримане - розрядне двійкове число (синдром), що буде дорівнювати нулю при відсутності помилок і відрізнятися від нуля у випадку наявності помилок. Відповідність між видом синдрому та місцем спотвореної позиції у кодовій комбінації повинна бути заздалегідь визначена.

Основними характеристиками систематичних блокових кодів є значність коду , надлишковість і завадостійкість, кількісно оцінювана імовірністю правильного приймання кодових комбінацій.

(1.8)

де

, ,

- імовірність помилкового прийому одиночного символу.

Загальне завдання, що ставиться при створенні коду, полягає в досягненні найменших значень і .

Типовим систематичним блоковим кодом є код Хемінга. Відомо кілька різновидів такого коду, що характеризуються різною коригувальною здатністю. До цих кодів звичайно відносять коди з виправленням однократних і виявленням двократних помилок. Код Хемінга, що забезпечує виправлення всіх однократних помилок, повинен мати мінімальну кодову відстань . Код будується таким чином, щоб у результаті перевірок одержати - розрядне двійкове число, що вказує номер спотвореної позиції у кодовій комбінації. Для цього перевірочні символи повинні перебувати на позиціях, номера яких виражаються ступенем числа 2 (2⁰, 2¹, 2², …2^r-1), тому що кожний з них входить тільки в одне з перевірочних рівнянь. Таким чином, будь-яка комбінація коду Хемінга записується у вигляді

(1.9)

де - інформаційні символи, - контрольні символи.

Цифровий індекс визначає номер позиції в кодовій комбінації.

Контрольні символи визначаються відповідно до правил

(1.10)

Контрольні рівності, що визначають состав синдрому (перевірочного двійкового числа), повинні мати вигляд:

(1.11)

Результат першої перевірки дає цифру молодшого розряду синдрому у двійковому записі, другої перевірки – цифру другого розряду і т.і. Якщо результат однієї або декількох перевірок дає 1, це означає, що один із символів кодової комбінації спотворений. Таким чином, синдром має вигляд … і вказує номер позиції спотвореного символу. Виправлення помилки зводиться до інвертування цього символу.

Перевірочна матриця коду повинна мати стовпців і рядків, причому нижній рядок визначає першу перевірку на парність, другий рядок знизу визначає другу перевірку і т.і.

При домашній підготовці до лабораторної роботи необхідно:

1.2.1. Визначити необхідне число інформаційних і контрольних символів і значність коду Хемінга, що дозволяє закодувати алфавіт і виправляє всі одиночні помилки.

1.2.2. Закодувати кодом Хемінга повідомлення, що відповідають будь-яким шести числам, що задані викладачем.

1.2.3. Вважаючи переданими комбінації, знайдені в п. 1.2.3. ввести одиночні помилки спочатку в інформаційні символи, потім у контрольні символи. Вважаючи прийнятими отримані таким чином спотворені комбінації, обчислити контрольні числа, що вказують номери спотворених позицій.

1.2.4. Ввести в отримані в п. 1.2.3 кодові комбінації дворазові помилки, обчислити контрольні числа та переконатися у відсутності відповідності між контрольним числом і номерами спотворених позицій.

1.2.5. Обчислити надлишковість коду Хемінга для отриманих комбінацій.

1.2.6. Обчислити завадостійкість коду Хемінга по формулі (1.8), враховуючи імовірність помилкового прийому одного символу .

1.2.7. Відкрити програму Matlab 6.5 та запустити файл математичної моделі hem.mdl. Зняти залежності імовірності помилки від відношення сигнал/шум для каналу зв’язку з нормальним білим шумом без кодування та при використанні коду Хемінга.