31. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.
Метод замены переменной (метод подстановки).
Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый формулой:
(1)
Пусть
заданный интеграл
не может быть непосредственно преобразован
к табличному интегралу. Введем новую
переменную
:
.
Тогда
,
,
т.е.
.
□ Найдем
производные по переменной
от левой и правой части;
,
.
Т.к.
,
то эти производные равны, поэтому по
следствию Лагранжа левая и правая части
(1)
отличаются на некоторую постоянную.
Поскольку сами неопределенные интегралы
определены с точностью до неопределенного
постоянного слагаемого, то указанную
постоянную в окончательной записи можно
опустить.■
Формула показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, свести его к табличному.
Пример.
Найти
.
Решение.
.
Замечание. Новую переменную можно не выписывать явно, а производить преобразования функции под знаком дифференциала (путем введения постоянных и переменных под знак дифференциала).
Теорема.
Пусть
некоторая первообразная для функции
.
Тогда если вместо аргумента
подынтегральной функции
и первообразной
подставить выражение
,
то это приведет к появлению дополнительного
множителя
перед первообразной:
,
где
и
- некоторые числа,
.
□
Перепишем
в виде:
.
Но
.
Вынося постоянный множитель
за знак интеграла и деля левую и правую
части равенства на
,
приходим к
.■
Алгоритм вычисления:
Делаем замену.
Дифференцируем замену
.Под знаком интеграла переходим к новой переменной.
Находим табличный интеграл.
Возвращаемся к старой переменной.
32. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.
Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, то каждому правилу дифференцирования должно соответствовать некоторое правило интегрирования.
Пусть
и
- дифференцируемые функции от
х.
Имеем:
,
откуда
.
Интегрируя
обе части последнего равенства, получим:
,
или
.
Это и есть формула интегрирования по частям.
Интегрирование
по частям состоит в том, что подынтегральное
выражение
представляется каким-либо образом в
виде произведения двух множителей
и
(последний обязательно содержит
)
и согласно формуле данное интегрирование
заменяется двумя:
1) при отыскании из выражения для ;
2)
при отыскании интеграла от
.
Может оказаться, что эти два интегрирования легко осуществляются, тогда как заданный интеграл непосредственно найти трудно.
Правило интегрирования по частям нередко позволяет довести интегрирование до конца.
Пример.
Найти
.
Решение.
Пример.
Найти
.
Решение.
.
Некоторые типы интегралов, берущиеся посредством формулы интегрирования по частям:
-
,
где
- многочлен
