27. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия. Основные понятия. Частные производные

Определение. Пусть имеется переменных величин и каждому набору их значений из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной величины из множества . тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

Переменные называются независимыми переменными или аргументами, - зависимая переменная. Множество называется областью определения функции, множество - областью значений функции.

Функцию двух переменных будем обозначать как .

Определение. Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства ( ), аппликата которых связана с абсциссой и ординатой функциональным соотношением . График представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

Частные производные функции двух переменных

Определение. Число называется пределом функции двух переменных в точке , если для любого положительного числа существует положительное число , зависящее от , такое что для всех точек отстоящих от точки на расстоянии выполняется неравенство . Обозначение: .

Рассмотрим изменение функции при изменении только одной переменной, например, ; при этом другая переменная остается фиксированной

- частное приращение функции по переменной . Аналогично определяется частное приращение функции по переменной : .

Определение. Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Пусть , тогда , .

Замечание. Так как частная производная функции 2-х переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при постоянном значении другой переменной, то вычисляют частные производные по формулам и правилам дифференцирования функции одной переменной.

Пример. Найти частные производные функций а) , б) .

Решение. а) , . б) , .

Правило. Производная вычисляется при фиксированном значении , а производная вычисляется при фиксированном значении .

Определение. Пусть функция имеет частные производные и , которые также являются функциями двух переменных и . Частные производные от этих функций называются частными производными второго порядка от функции . Каждая производная первого порядка имеет две частные производные. Таким образом, мы получаем 4 частные производные второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

,	,
,	.

Определение. и называются смешанными производными функции .

Экстремум функции двух переменных

Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство: , .

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть точка - есть точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

Терема (достаточное условие экстремума). Пусть функция :

а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и ,

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка , , .

Тогда, если , то в точке функция имеет экстремум, причем если (или ) – максимум, если (или ) - минимум. В противном случае функция экстремума не имеет. Если , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Схема исследования функции двух переменных на экстремум:

1) Найти частные производные функции и .

2) Решить систему уравнений и и найти критические точки функции.

3) Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример. Исследовать функцию на экстремум. Решение. Находим частные производные: , . Критические точки функции находим из системы уравнений: Решая систему, имеем одну критическую точку . Находим частные производные второго порядка: , , . Составляем . Так как и , то точка есть точка минимума.

28. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы нормальных уравнений).

Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов

Пусть зависимость между двумя переменными выражается в виде таблицы (полученной опытным путем):

х	x1	X2	…	хi	…	xn
y	y1	Y2	…	yi	…	yn

Требуется наилучшим образом заменить табличную функцию некоторой аналитической функцией, значения которой возможно мало отличались бы от опытных данных.

Определение. Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, называются эмпирическими формулами.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов.

1 этап. Необходимо установить вид зависимости , т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической, экспоненциальной или какой-либо другой.

Для выбора функции привлекают дополнительные соображения (опыт предшествующих исследований, теоретические выводы и т.д.).

Предположим, что 1 этап завершен (вид функции установлен).

2 этап. Определение неизвестных параметров функции.

Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров функции выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов невязок , или отклонений «теоретических» значений , найденных по эмпирической формуле , от соответствующих эмпирических значений , т.е.

была минимальной. (8.1)

Пусть в качестве функции взята линейная функция и задача сводится к отысканию таких параметров и , при которых функция (8.1) принимает наименьшее значение.

Решение экстремальной задачи.

Функция есть функция двух переменных и , а , - постоянные числа, найденные экспериментально.

Решаем систему уравнений или (8.2)

После алгебраических преобразований эта система принимает вид: (8.3)

Система (8.3) называется системой нормальных уравнений.

Пример. Результаты четырех измерений величин и приведены в таблице

х	1	2	3	4
у	0,2	0,3	1	1,2

Предполагая, что между переменными и существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу методом наименьших квадратов.

Решение. Найдем необходимые для расчетов суммы:

Вычисления оформим в виде вспомогательной таблицы.

1	1	0,2	0,2	1
2	2	0,3	0,6	4
3	3	1	3	9
4 4	4 4	1,2 1,2	4,8 4,8	16 16
	10	2,7	8,6	30

Запишем систему нормальных уравнений (8.3):

Ее решение , дает исходную зависимость .

29. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.

Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное решения

Понятие дифференциала и его геометрический смысл

Пусть функция определена на промежутке и дифференцируема в окрестности точки ,тогда или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем , где - бесконечно малая величина при . Отсюда:

. ( 7.1)

Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых:

1) - линейного относительно , т.к. ;

2) - нелинейного относительно , т.к. .

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

. ( 7.2)

Пример. Найти приращение функции при и :

Решение. ,

Пример. Найти дифференциал функции .

Решение. По формуле (7.2.) имеем .

Определение. Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

( 7.3)

Тогда формулу (7.2) для дифференциала функции можно записать в виде:

( 7.4)

Откуда , поэтому можно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем и знаменателем .

Геометрический смысл. На графике функции (рис. 7.1.) возьмем произвольную точку . Дадим аргументу приращение , тогда функция получает приращение . В точке проведем касательную, образующую угол с осью . Из треугольника : . Из имеем: . Таким образом, и соответствует формуле (7.1).

Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение .

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.

1)	4)
2)	5)
3)