1.3 Лінійні нормовані простори

Нехай Х – не порожня множина елементів деякої природи, яка задовольняє наступні аксіоми.

1. - абелева група⁴, відносно групових операцій додавання. Це означає, що означена сума двох будь-яких елементів , є елементом тієї ж множини, та ця операція додавання має властивості:

1) - закон комутативності;

2) - закон асоціативності;

3) існує однозначно визначений елемент такий, що для будь-якого ;

4) для кожного елемента існує однозначно визначений елемент того ж простору такий, що .

Елемент називається нульовим елементом (або нулем) групи ; елемент називається елементом, протилежним .

2. Означений добуток елементів , , , ... множини на дійсні (комплексні) числа , , , ..., причому виявляється знову елементом множини і виконуються умови:

1) - закон асоціативності;

2) , - закон дистрибутивності;

3) .

Означення 8 Множина , яка задовольняє аксіоми 1. і 2., називається лінійним (або векторним) простором. В залежності від того, на які числа, дійсні чи комплексні, допускається множення елементів множини , отримуємо дійсний або комплексний лінійний простір.

Розглянемо найпростіші приклади лінійних просторів.

1. Пряма лінія, тобто сукупність дійсних чисел, зі звичайними арифметичними операціями додавання і множення.

2. - вимірний векторний простір, тобто сукупність різноманітних систем чисел (дійсних чи комплексних) , де додавання чи множення визначається формулами

,

.

Такий простір називається - вимірним арифметичним простором і позначається символом в дійсному випадку, і символом - в комплексному.

3. Неперервні (дійсні або комплексні) функції на деякому відрізку зі звичайними операціями додавання функцій і множення їх на числа утворюють лінійний простір .

4. Простір - простір разів неперервно диференційованих функцій на відрізку .

Означення 9 Елементи , ,..., лінійного простору називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа , ,..., , не всі рівні нулю, що

.

В протилежному випадку ці елементи називаються лінійно незалежними. Інакше кажучи, елементи , ,..., лінійно незалежні, якщо із рівності випливає, що

.

Нескінченна система елементів , , ... простору називається лінійно незалежною, якщо будь-яка її скінчена підсистема лінійно незалежна.

Означення 10 Якщо у просторі можна знайти лінійно незалежних елементів, а будь-які елементів цього простору лінійно залежні, то говорять, що простір має вимірність . Якщо ж у просторі можна вказати систему з довільного скінченого числа лінійно незалежних елементів, то говорять, що простір нескінченновимірний.

Простори у прикладах 1 і 3 мають скінчені розмірності (1 і , відповідно). Простори в прикладах 3 і 4 нескінченновимірні.

Дійсно, розглянемо, наприклад, простір , . Візьмемо послідовність функцій і покажемо, що лінійно незалежні для будь-якого натурального . Припустимо протилежне, тобто що для деякого існують не всі рівні нулю такі, що

(в правій частині означає функцію, що тотожньо дорівнює 0 на відрізку ).

Але ліва частина останньої рівності при фіксованих , хоча б одне з яких не дорівнює нулеві, є багаточленом степеню не вище . Як відомо із курсу алгебри він не може мати більше нулів, а значить не може бути рівним нулю на всьому відрізку . Отримаємо протиріччя.

Означення 11 Лінійний простір називається лінійним нормованим простором, якщо кожному поставлено у відповідність скінчене невід’ємне число (норма ) таке, що виконуються наступні три аксіоми:

1) ; в тому і лише в тому випадку, коли ;

2) ;

3) – аксіома трикутника.

Будь-який нормований простір стає метричним простором, якщо для будь-яких двох елементів покласти

.

Справедливість аксіом метричного простору безпосередньо виходить із властивостей 1)-3) норми (перевірити самостійно).

Таким чином, на нормовані простори переносяться ті поняття і факти, які були викладені раніше для метричних просторів.

Наприклад, послідовність { } елементів із лінійного нормованого простору збігається до , якщо .

Послідовність точок лінійного нормованого простору називається фундаментальною, якщо для будь-якого існує таке , що для всіх .

Якщо будь-яка фундаментальна послідовність елементів із збігається до елементів з , то такий лінійний нормований простір називається повним.

Означення 12 Повний лінійний нормований простір називається банаховим простором або, коротше, - простором.

Простори, розглянуті в п.1.1 в якості прикладів метричних просторів, можуть бути наділені природньою структурою нормованого простору (забезпечення лінійності цих просторів розглянуто вище, а норму будемо вводити далі так, щоб рівність давала відповідну метрику).

а'') Множина всіх дійсних чисел стає нормованим простором, якщо для числа покласти .

б'') В просторі векторів норму визначимо відношенням

.

в'') В просторі векторів норму визначаємо за

.

г'') В - вимірному арифметичному евклідовому просторі норму визначимо

.

д'') Простір неперервних дійсних функцій на відрізку наділимо нормою

.

е'') В просторі неперервних на функцій з квадратичною метрикою логічно розглядати норму

.

В наведених прикладах нормованих просторів виконання аксіом норми встановлюється аналогічно перевірці аксіом метрики у відповідних метричних просторах (перевірити самостійно).

Означення 13 Нехай - лінійний простір і в двома способами введені норми: і . Норми і називаються еквівалентними, якщо існують числа , такі, що для будь-яких

.

Нехай в лінійному просторі задані дві еквівалентні норми, і нехай і - відповідні нормовані простори. Тоді будь-яка послідовність, яка збігається в одному з цих просторів, збігається також і в другому, причому до тієї ж границі.

Дійсно, нехай послідовність елементів із збігається до елемента в просторі . З правої частини останньої нерівності виходить

і тоді , якщо .

Навпаки, якщо послідовність збігається до в просторі , то, використовуючи ліву частину нерівності, маємо

,

а, звідси, 0, якщо 0. Залишилось відмітити, що послідовність { } в нормованому просторі може мати лише одну границю. Дійсно, нехай крім границею є .Тоді, використовуючи нерівність трикутника, маємо

= _.

Звідки,

=0 і .

Приведемо без доведення наступну теорему.

Теорема 1.4 В будь-якому скінченновимірному лінійному просторі всі норми еквівалентні.

Таким чином, якщо в скінченновимірному лінійному просторі встановлена збіжність послідовності { } до по будь-якій нормі, то ця послідовність збігається до і по будь-якій іншій нормі. Наприклад, якщо послідовність { } елементів -вимірного векторного простору збігається по нормі , то вона збігається до і по нормам , .

Розглянемо простір матриць A= розмірності з дійсними елементами. Цей простір можна розглядати як лінійний, якщо визначити операцію додавання відношенням + = і операцію множення на число відношенням = . В цьому лінійному просторі квадратних числових матриць -го порядку задамо норму наступним чином:

, (1.16)

де – вектор із -вимірного векторного простору; , - одна з введених вище норм відповідних векторів , ⁵.

Нехай А, В – квадратні числові матриці -го порядку, А+В – їх сума. Оскільки

,

то

=

+ = .

Таким чином, нерівність трикутника для введеної норми матриці виконується. Справедливість інших аксіом для норми (1.16) очевидна.

Задана по формулі (1.16) норма матриці називається узгодженою з нормою вектора.

Якщо А=Е, тобто А являється одиничною матрицею, то (оскільки Е = для будь-якого і тому ) із (1.16) виходить, що =1.

Через будемо позначати норму матриці А у випадку, коли для вектору прийнята норма = , m = 0,1,2.

Визначимо норму матриці при різних m.

1) Покажемо, що

. (1.17)

Очевидно

,

тобто .

З іншого боку, візьмемо номер таким, що , і побудуємо вектор , де

Ясно, що . Тоді

,

тобто .

Порівнюючи дві отриманих нерівності, отримуємо (1.17).

2) Впевнимося, що

. (1.18)

Очевидна нерівність

,

тобто .

Знайдемо тепер таке , що , і візьмемо вектор , в якому одиниця стоїть на -й позиції.

Тоді

,

так що .

Порівнюючи отримані нерівності, отримуємо (1.18).

3) Покажемо, що

. (1.19)

Дійсно, використовуючи нерівність Коші-Буняковського, маємо

,

звідки і виходить (1.19).

Розглянемо ще деякі властивості матричних норм. Згідно (1.16) для довільних векторів має місце

. (1.20)

Тоді

.

Отже,

. (1.21)

Зокрема,

. (1.22)