1.2 Принцип стискаючих відображень

Розглянемо відображення метричних просторів. Нехай i два метричних простори і – відображення простору в . Таким чином, кожному ставиться в однозначну відповідність деякий елемент y = із .

Означення 5 Відображення метричного простору в метричний простір неперервне в точці , якщо для будь-якої послідовності { }, яка збігається до , послідовність { } збігається до (мається на увазі збіжність послідовності { } в метриці простору , а збіжність { } в метриці проcтору ). Якщо відображення неперервне в усіх точках простору , то говорять, що неперервне на . Факт неперервності записується так

.

Означення 6 Відображення називається відображенням в себе, якщо для кожного .

Означення 7 Відображення простору в себе називається стискаючим, якщо існує таке число 0 < < 1, що для будь-яких двох точок x, y виконується нерівність

(A , A ) ( , ). (1.4)

Будь яке стискаюче відображення неперервне. Дійсно, якщо , то в силу (1.4) A A .

Теорема 1.1 С.Банаха³ (принцип стискаючих відображень, теорема про нерухому точку).

Будь-яке стискаюче відображення, визначене у повному метричному просторі , має одну і лише одну нерухому точку (тобто рівняння Ах = х має один і лише один розв’язок).

Доведення Нехай – довільна точка в . Припустимо і т.п.; в загальному випадку .

Покажемо, що послідовність { } фундаментальна. Дійсно, припускаючи для визначеності, що m n, маємо

.

(1.5)

Оскільки <1, то при достатньо великому ця величина скільки завгодно мала. Таким чином фундаментальність { } доведена.

В силу повноти послідовність { }, будучи фундаментальною, має границю, яка належить .

Припустимо

.

В силу неперервності відображення А

.

Існування нерухомої точки доведено.

Доведемо, що вона єдина. Якщо , , то нерівність (1.4) приймає вигляд

.

Оскільки <1, звідси виходить, що

,

а на основі аксіоми 1) для метричних просторів

х = у.

Теорема повністю доведена. 

При переході до границі m в лівій частині нерівності (1.5) маємо

, (1.6)

що дає оцінку швидкості збіжності послідовності { } до х. Якщо задати точність >0, то можна попередньо знайти таке n, що

.

А точніше, із

маємо

^≥ .

Іноді умова стискаючості (1.4) для відображення не виконується, але деяка степінь є стискаючим відображенням. Тоді має місце наступне узагальнення принципу стискаючих відображень.

Теорема 1.2 Нехай – таке відображення повного метричного простору в себе, що відображення при деякому n являється стискаючим; тоді рівняння

Ах = х

має один і лише один розв’язок.

Доведення Візьмемо довільну точку і розглянемо послідовність { } (k=0,1,...). Повністю аналогічним чином, як і в доведенні попередньої теореми, встановлюється, що послідовність

{ }

фундаментальна, і, відповідно, збігається в повному метричному просторі , а також

являється єдиним розв’язком рівняння

, (1.7)

З умови стискаючості відображення виходить існування такого , що

для будь-яких .

Покажемо, що х, який являється єдиним розв’язокм (1.7), є також єдиним розв’язком для рівняння .

Дійсно,

,

звідки виходить, що , тобто

.

Якщо у – інша нерухома точка для , то ця ж точка нерухома і для . Тому

,

а отже і . Звідси виходить, що х – єдина нерухома точка .

Часто розглядають таке відображення , що умова стискаючості (1.4) виконується не в усьому просторі, а лише в деякому замкненому околі

деякої точки (замкненій кулі радіусу r з центром у точці ).

Тоді принцип стискаючих відображень можна застосовувати при додатковій умові, що відображає цю кулю у себе і тому послідовні наближення не виходять за окіл, що розглядається. А точніше, має місце наступна теорема.

Теорема 1.3 Нехай в повному метричному просторі R або на його частині, що вміщує замкнений окіл S елемента , визначене відображення . Нехай для будь-яких

,

і

,

де - деяке фіксоване додатнє число, менше одиниці. Тоді в S існує один і лише один розв’язок рівняння , який може бути отриманий як границя послідовності , де - довільний елемент із .

Доведення Покажемо, що виконує відображення в себе.

Дійсно, для будь-якого маємо

,

тобто .

Далі, із (1.4’) виходить, що це відображення стискаюче. Тепер переконаємось, що сукупність всіх елементів з тим самим поняттям відстані можна розглядати як повний метричний простір. Нехай - будь-яка фундаментальна послідовність елементів із . Вона збігається в , тобто існує елемент такий, що

.

Але , звідки , тобто .

Законність внесення границі під знак функції (тобто неперервність її в точці ) тут можна обґрунтувати наступним чином. Із нерівності трикутника

виходить

.

З іншого боку

,

а це означає,

.

Звідки

.

Оскільки при , то для будь-якого можна знайти таке , що при

,

а це означає, що

.

Куля є повним метричним простором. Тепер твердження теореми прямо виходить із принципу стискаючих відображень.

Розглянуті варіанти принципу стискаючих відображень використовуються не лише для доведення теорем існування і єдиності розв’язків різного роду рівнянь, але як і основний інструмент для побудови і обґрунтування ітераційних методів їх розв’язання.