1.5.Скінчені та поділені різниці
Скінчені різниці.
Нехай
де
- ціле,
.
Величина
(1.17)
називається скінченою
різницею першого порядку
функції
у точці
(з кроком
).
Величина
(1.18)
називається скінченою різницею другого порядку функції у точці .
Взагалі, скінчена різниця
-го
порядку функції
у точці
визначається рекурентним співвідношенням
(1.19)
де
.
При обчисленнях скінченні різниці зручно записувати у вигляді таблиці
Розглянемо деякі властивості скінчених різниць.
Лема 1.1.
Якщо
,
то існує така точка
,
що
.
Доведення. При маємо з формули скінчених приростів Лагранжа та з (1.17)
При
маємо. Позначимо
Тоді згідно (1.18)
і тому за формулою скінчених приростів Лагранжа
(1.20)
Але
.
Застосовуючи ще раз формулу
скінчених приростів Лагранжа до
,
маємо
(1.21)
де
деяка точка.
З формул (1.20), (1.21) виходить
тобто твердження леми при
справедливо.
Для
лема доводиться аналогічно.
Висновок з леми 1.1. Скінчена різниця -го порядку алгебраїчного багаточлена -го ступеню стала, тобто не залежить від , а скінченні різниці ще вищих порядків дорівнюють нулеві.
Одне з практичних застосувань
скінчених різниць полягає у наступному.
Згідно леми 1.1, якщо
, то величина
яку можна обчислити через табличні
значення функції
за допомогою формули (1.19), дорівнює
значенню похідної
у деякій точці
,
де
Тому , якщо
мале, то число
можна наближено прийняти за величину
та використати в оцінці похибки
інтерполяції з рівновіддаленими вузлами.
Такою нестрогою оцінкою похибки
користуються, якщо достатньо складне
обчислення похідної
,
або, взагалі, маємо у розпорядженні
тільки табличні значення
раз диференційованої функції.
Поділені різниці.
Нехай тепер
-
довільні точки (вузли) осі
,
причому
при
.
Значення
функції
у вузлах називаються поділеними
різницями нульового порядку.
Число
(1.22)
називається поділеною
різницею першого порядку функції
(відповідно точкам
).
Очевидно
(1.23)
тобто поділена різниця першого
порядку є симетричною функцією аргументів
і
.
Поділена різниця
-го
порядку визначається через поділені
різниці
-го
порядку за рекурентною формулою
(1.24)
При обчисленнях поділені різниці записують у вигляді таблиці
Лема 1.2. Поділена різниця -го порядку може бути подана через вузлові значення функції за формулою
(1.25)
тобто є симетричною функцією своїх аргументів .
Доведення . При твердження леми виходить з рівності (1.23).
При згідно з (1.24) маємо
Для довільного доведення проводиться за індукцією.
Висновок з леми 1.2.
Значення поділеної різниці не залежить
від порядку нумерації
вузлів, за якими вона будується. Всього
маємо
варіантів нумерації вузлів цілими
числами від 0 до
.
Лема 1.3.
Якщо
тобто вузли розміщуються на осі з сталим
кроком
то між поділеною різницею
-го
порядку та скінченою різницею
-го
порядку існує наступний зв’язок:
. (1.26)
Доведення.
Для
=1
рівність (1.26) виходить з (1.17), (1.23). При
довільному
доведення проводиться за індукцією.
При цьому враховується той факт, що при
визначенні кожної наступної за порядком
скінченої різниці відбувається згідно
(1.19) віднімання попередніх різниць, а
при обчисленні наступної поділеної
різниці згідно з формулою (1.24) проводиться
додаткове ділення на величину
Звідси й виникає величина
у
знаменнику правої частини рівності
(1.26).
Лема 1.4.
Нехай
- мінімальний відрізок, що містить вузли
.
Тоді існує така точка
що
.
(1.27)
Доведення . Для вузлів, що розміщені зі сталим кроком, рівність (1.27) безпосередньо виходить з лем 1.1, 1.3.
Доведення у загальному випадку
можна здійснити наступним чином. Візьмемо
точку
та побудуємо поділену різницю
-го
порядку
З цього виразу можна одержати
Співставимо останнє рівняння
з раніш одержаним виразом для похибки
та одержимо
Покладаючи тепер
,
одержимо (1.27).
Висновок з леми 1.4. Поділена різниця -го порядку від алгебраїчного багаточлена -го ступеню має стале значення, що не залежить від вузлів а поділені різниці ще вищих порядків дорівнюють нулеві.
Скінченні і поділені різниці мають різноманітні застосування. Далі розглянемо їх використання для побудови інтерполяційних багаточленів.