1.3 Похибка інтерполяції багаточленом

Можна записати рівність

(1.9)

де - похибка інтерполяції. Якщо відносно функції нічого не відомо, крім її значень у вузлах інтерполяції, то ніяких корисних висновків відносно зробити неможливо.

Одержимо деякий вираз похибки інтерполяції у припущенні, що тобто - функція неперервна разом зі своїми похідними, ‑ відрізок, що містить усі вузли інтерполяції і точку .

Введемо позначення

(1.10)

ТЕОРЕМА 1.3. Якщо , відрізок містить усі вузли інтерполяції, то для маємо

(1.11)

(1.12)

де деяка невідома точка.

Доведення. Шукаємо у наступному вигляді

(1.13)

де деяка функція, значення якої у вузлах інтерполяції можна задати які завгодно, бо

Зафіксуємо довільне та розглянемо наступну функцію від

(1.14)

Ця функція внаслідок (1.1), (1.9), (1.10), (1.13) дорівнює нулеві при та тобто у всякому випадку у точках відрізку на якому змінюється

За теоремою Ролля дорівнює нулеві не менше ніж у точках інтервалу дорівнює нулеві мінімум у точках цього інтервалу тощо. Таким чином, відшукається хоча б одна точка у якій Звідси та з (1.14), враховуючи, що

одержуємо

Отже,

звідки, у відповідності з (1.13), (1.9) має місце (1.11), (1.12).

З (1.12) одержуємо оцінку похибки інтерполяції у точці :

(1.15)

та оцінку максимальної похибки на усьому відрізку :

де

1.4.Інтерполяція з рівновіддаленими вузлами

Розглянемо особливості побудови інтерполяційного багаточлена Лагранжа у випадку рівномірного розподілу вузлів.

Нехай - вузли інтерполяції, - крок, ‑ задані значення функції причому

Введемо безрозмірну незалежну змінну

Тоді вузлу відповідає

і, окрім того, виконуються співвідношення

При цьому інтерполяційний багаточлен Лагранжа, що відповідає випадку записується у вигляді

У загальному випадку інтерполяційний багаточлен Лагранжа

одержить наступний вигляд:

де

Оскільки

де

залишковий член інтерполяційного багаточлена може бути поданий у вигляді

Зауважимо ,що з означення виходить, що зміні змінної на відрізку відповідає зміна змінної на відрізку

Тому оцінку максимальної похибки інтерполяції на відрізку можна записати у наступному вигляді :

(1.16)

де

Величина не залежить від . Її можна заздалегідь обчислити чи оцінити. Зокрема ,

Враховуючи , що можна зробити висновок , що максимальна похибка інтерполяції на відрізку , тобто

Зауважимо ,що (враховуючи ) при зменшенні кроку вдвічі права частина оцінки зменшиться мінімум у разів.

Виходячи з підсиленої оцінки, що одержується з нерівності (1.16), у яку замість підставлене , вибирають крок таблиці значень функції на відрізку з тим, щоб забезпечити задану точність інтерполяції. При цьому є ще можливість змінювати у деяких границях ступінь інтерполяційного багаточлена. Якщо функція достатньо гладка, то підвищення спочатку, як правило, веде до підвищення припустимого , але, з другого боку, ускладнює інтерполяцію і підсилює вплив неусувних похибок табличних значень. На практиці рідко використовують інтерполяцію з

Зауваження. При заданому вузли інтерполяції що розташовані з кроком , доцільно вибирати з сукупності усіх вузлів заданої таблиці функції так, щоб точка опинилась як можна ближче до середини відрізку . Це пов’язано з тим , що коливання функцій та поблизу середини згаданого відрізку менше, ніж у його кінців (рис 1.1).

Рис. 1.1