21.Сравнение функции при X→ x0 , e: ф-ции, бесконечно малые по сравнению с другими
Определение. Пусть f, g : E → R, x0 E .
Функция f(x) называется б.м.ф. по сравнению с g(x) при x→ x0 , E (б.б.ф),
если U(x0) : на этой окресности
(x0) E f(x) представимо в виде
f(x) = (x)*g(x) , где (x) – б.м.ф. при x→ x0 , E.
В случае, если такое представление возможно и lim (x) = 1 при x→ x0 , E, то функция f(x) и g(x) называются эквивалентными.
Обозначение : f(x) ~ g(x), x→ x0 ,E
Б.м.ф. по сравнению с др. при x→ x0 , E.
Если g(x) 0 на E\{x0} , то утверждение, что f(x) – б.м.ф. по сравнению с g(x) при x→ x0 равносильно утверждению, что
lim
= 0+|xn-p|<E
,x→
x0
,E
Обозначение f(x) = 0(g(x)), x2 =0(x), (x) → 0
Т.е. lim ( x2 /x)=0
Свойства б.м.ф.
-0(g(x)) = 0(g(x))
0(g(x)) + 0(g(x)) = 0(g(x))
h(x)*0(g(x)) = 0(h*g)
22. Сравнение функции при x→ x0, E: Эквивалентные функции.
Если g(x)
0,f
~ g
означает lim
Свойства:
Утверждение, что f ~ g при x→ x0 , E f(x) = g(x) + 0(g(x)) при x→ x0 , E
Если f(x)~f1(x) при x→ x0 , а g(x)~g1(x)при x→ x0 то:
limf(x) limf1(x) x→ x0
limg(x) limg1(x)
б) lim f(x)*g(x) ~ lim f1(x)*g1(x)
в) g(x)
, g1(x)
0
lim
lim
, причем эти пределы совпадают.
При вычислении пределов произведения, частного, множители (делимое и делитель) можно заменить эквивалентными выражениями, причем это не повлияет ни на существование предела, ни на его значение.
23.Некоторые эквивалентности и формулы, используемые при вычислении пределов.
10. Основные эквивалентности.
из 1 замечательного предела lim следует , что
x → 0
sin x ~ x
x → 0
tg x ~ x
x → 0
arctg x ~ x
x → 0
lim
lim
lim
loga
(1 + x)
= // (1 + x)
= y, y → e , x → 0 // = lim log
a y
= log
a e
=
y → e
lim
= 1
loga
(1 + x) ~
при x → 0
lim
,
x = log
a (t+1)
=
= lim
x → 0 t → 0
x → 0
ax – 1 ~ x* ln a
x → 0
lim
=
// (1+x)
-
1 = t, (1+x)
= t +1 , ln (1 + x) =
// =
x → 0
= lim
t → 0
lim
~
x → 0
20. Предел степенно – показательной функции.
a(x) = 0;
ln f(x) = b(x)* ln a(x)
Пусть lim ln f(x) = lim [ b(x)* ln a(x) ] = : p
x→ x0 ,E x→ x0 ,E
f(x)
=
, lim f(x) = lim
=
x→ x0 ,E x→ x0 ,E
=
Вывод : если предел логарифма функции существует, то можно найти и предел функции.
Понятие множества. Операции над множествами и их свойства.
Свойства десятичных преставлений рациональных чисел. Множество действительных чисел.
Множество действительных чисел. Абсолютная величина числа и ее свойства.
Границы числовых множеств. Свойства точных границ.
Понятие функции. График функции. Композиция функций. Обратимость функции.
Основные элементарные функции. Классификация функций.
Окрестности. Свойства окрестностей.
Предельная точка множества. Основное определение предела функции.
Предел функции. Общие свойства предела (св.1 – св.3).
Предел функции. Связь между пределами функции на множестве и на его частях.
Ограниченная функция. Ограниченность функции при при
.Предел последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.
Связь между пределом функции и пределом последовательности. Доказательство отсутствия предела.
Бесконечно малые функции и их свойства.
Критерий существования конечного предела функции на языке б.м.ф. Бесконечно большие функции и их свойства.
Пределы результатов арифметических действий.
Теорема («принцип двух милиционеров»). Первый замечательный предел.
Односторонние пределы. Предел монотонной функции.
Второй замечательный предел.
Фундаменатльная последовательность. Критерий Больцано-Коши сходимости последовательности.
Сравнение функций при : функции, бесконечно малые по сравнению с другими.
Сравнение функций при : эквивалентные функции.
Основные эквивалентности, применяемые при вычислении пределов. Предел степенно-показательной функции.
Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций.
Непрерывность монотонной и обратной к строго монотонной функций.
Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях.
Открытые и замкнутые множества на числовой прямой. Компакт.
Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях.
Классификация разрывов функции.