Свойства дисперсии

1. Выборочная дисперсия постоянной равна нулю, т.е. если х = с, то S²_с = 0.

2. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и тоже число k раз, то дисперсия увеличится в k² раз

S²_кх = к²S²_х. (7)

3. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и тоже значение, то дисперсия не изменится

S²_х+с = S²_х; (8)

.

4. Дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов вариантов и квадратом средней арифметической

; (9)

5. Если ряд состоит из нескольких групп наблюдений, то общая дисперсия равна сумме средней арифметической групповых дисперсий и межгрупповых дисперсий

, (10)

где S_х² – дисперсия всего ряда,

S_g² = – средняя арифметическая групповых дисперсий,

– межгрупповая дисперсия.

Другими характеристиками вариационного ряда являются начальные и центральные моменты k -го порядка, коэффициент асимметрии, эксцесса и т.д.

Заметим, что среднее арифметическое, дисперсия и другие характеристики вариационного ряда являются статистическими аналогами (оценками) математического ожидания, дисперсии и т.д.

Статистическая выборка

В статистике различают два вида наблюдений – сплошное, когда изучают все объекты совокупности, и выборочное, когда изучается часть объектов.

Примеры сплошных наблюдений: перепись населения, референдумы, медкомиссия призывников и т.д. Примеры выборочных наблюдений: социологические исследования, контроль качества, медицинские анализы, изучение флоры и фауны и т.д.

Определение 5. Вся совокупность объектов, подлежащих изучению, называется генеральной совокупностью. Дадим более строгое определение генеральной совокупности.

Определение 6. Генеральной совокупностью называется вероятностное пространство {Ω,S,P}и определенная на этом пространстве совокупность случайных величин Х (признаков).

Определение 7. Единицей (элементом) генеральной совокупности называется элементарное событие и отвечающее ему значение случайной величины Х (признака).

Определение 8. Часть объектов, которая отобрана из генеральной совокупности для изучения, называется выборкой (выборочной совокупностью).

Определение 9. Случайной выборкой объема n называется последовательность Х₁, Х₂,… Х_n n независимых, одинаково распределенных случайных величин, распределение каждой из которых совпадает с распределением исследуемой случайной величины Х.

Конкретный набор выборочных значений следует рассматривать как реализацию (одну из многих) многомерной случайной величины Х₁, Х₂, …, Х_n, компоненты которой независимы и имеют одну и ту же функцию распределения F(x), соответствующую генеральной совокупности.

Преимущества выборочного метода перед сплошным наблюдением:

– более экономичный в плане материальных затрат;

– единственно возможный в случае бесконечной генеральной совокупности или когда исследование сопровождается уничтожением наблюдаемых объектов.

Определение 10. Выборка называется репрезентативной, если она достаточно хорошо воспроизводит генеральную совокупность.

Различают следующие виды выборки:

– случайная выборка, состоящая в случайном выборе элементов совокупности;

– механическая выборка, в которую элементы из генеральной совокупности отбираются через определенные интервалы (например, каждый десятый);

– типическая (стратифицированная) выборка – генеральная совокупность разбивается на группы и в них делается выборка;