15. Равносильность систем линейных уравнений. Расширенная матрица системы. Элементарные преобразования.

Матрица системы, к которой присоединен столбец свободных

членов, называется расширенной матрицей системы:

Перестановка уравнений системы, прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умножение уравнения на число, отличное от нуля — такие преобразования системы называются элементарными преобразованиями системы

Расширенная матрица — матрица системы, дополненная столбцом свободных членов 

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями строк называют:

• перестановка местами любых двух строк матрицы;

• умножение любой строки матрицы на константу  ,  ;

• прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу  ,  .

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка местами двух строк матрицы не вносятся в определение элементарных преобразований так как перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить используя умножение любой строки матрицы на константу  ,   и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу  ,  .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Элементарные преобразования обратимы.

Обозначение   указывает на то, что матрица   может быть получена из   путём элементарных преобразований (или наоборот)

16. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Решение систем с единичной подматрицей у матрицы коэффициентов. Базисное решение.

Решение системы методом Гаусса состоит из двух частей:

прямого хода и обратного хода.

1. Прямой ход метода Гаусса.

С помощью элементарных преобразований расширенная

матрица системы приводится к трапециевидной форме. Возможны три случая:

а) расширенная матрица имеет треугольный вид, т. е. число

уравнений в ней равно числу неизвестных, - система имеет

единственное решение;

б) число строк трапециевидной матрицы меньше числа не-

известных – система имеет бесконечно много решений;

в) в процессе приведения расширенной матрицы к трапециевидной форме получена строка вида (0 0 ….0/в)- где в не равно 0-система несовместна.

2. Обратный ход метода Гаусса.

Обратный ход заключается в определении неизвестных из

ступенчатой системы, соответствующей полученной трапециевидной матрице.

17.Решение систем линейных алгебраических уравнений с канонической расширенной матрицей.

Х(альфа)=(х_1,…,х_n)

X(бета)=(x_r+1,….,x_n)

Из следования системы *

1)b’’не=0 решения нет-система несовместна

2)b’’=0, r=n

X(альфа)=x =b’

3)b’’=0; n>r

X(альфа)=b’ – CX(бетта) -система неопределенна

X(бетта)-свободная

X(альфа)-базис