Матрицы. Свойство операций сложения и умножений матриц.
Матричные операции
Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.
Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть
A + Θ = A
Все элементы нулевой матрицы равны нулю.
Возводить в степень можно только квадратные матрицы.
Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.
Коммутативность сложения: A + B = B + A.
Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.
Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно:
.
Используя это свойство, вводят коммутатор
матриц.Дистрибутивность умножения относительно сложения:
A(B + C) = AB + AC;
(B + C)A = BA + CA.
С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.
Свойства операции транспонирования матриц:
(AT)T = A
(AB)T = BTAT
(A − 1)T = (AT) − 1, если обратная матрица A − 1 существует.
(A + B)T = AT + BT
detA = detAT
9. Определитель н-го порядка. Свойства определителей.
Каждой квадратной матрице A можно поставить в соответст-
вие число, которое называется ее определителем
Определителем матрицы первого порядка а=(а11 ) (опре-
делителем первого порядка) называется элемент a11
Пусть дана
квадратная матрица 
–
го порядка:
.
. Произведение элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца называют членом определителя матрицы А
Определителем – го порядка или определителем квадратной матрицы – го порядка называют алгебраическую сумму всех членов определителя данной матрицы, взятых со своими знаками.
свойсива
1. Определитель транспонированной матрицы равен определи-
телю исходной.
2. Если в определителе поменять местами две строки (столбца),
то определитель поменяет знак.
3. Определитель с двумя пропорциональными (в частности,
равными) строками (столбцами) равен нулю.
4. Если в определителе строка (столбец) целиком состоит из
нулей, то определитель равен нулю.
5. Общий множитель всех элементов какой либо строки (столб-
ца) можно вынести за знак определителя.
6. Определитель не изменится, если ко всем элементам одной
строки (столбца) прибавить соответствующие элементы дру-
гой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
7. Определитель диагональной, треугольной (верхней и нижней)
матрицы равен произведению диагональных элементов
Минором Mij элемента аij определителя det A называется
определитель, который получится из данного определителя вы-
черкиванием i -й строки и j -го столбца.
2 Вариант
Определителем матрицы является многочлен от элементов квадратной матрицы.Определитель n-ого порядка-произведение n эл-ов матр А,взятых поодному из каждой строки и каждого столбца называют членом определителя матрицы А.
1.
2.
3.
Для нахождения определителя более высокого порядка, матрицу приводят к треугольному виду и считают произведение элементов на главной диагонали.
Св-ва:1.Если у опред какая-либо строка(столбец)сост только из нулей,то det=0 2.Если какие-либо 2 строки(2 стол)det пропорц то det=0 3.Если какую-либо строку det умножить на произвольн число то весь det умнож на это число 4.Если две строки det поменять местами то дет изменит знак 5.Если к какой-либо строке дет прибавить какую-либо др строку умнож на произвольн число то дет не изменится 6.Опред-ь произведения матриц=равен про-ю их дет