Геометрическая интерпретация
Вектор в
геометрии — упорядоченная пара
точек, одна из которых называется
началом, вторая — концом вектора.
Операция сложения вводится по правилу
треугольника: пусть есть вектора 
и 
.
Оба эти вектора переносятся параллельно
самим себе так, чтобы начало одного из
них совпадало с концом другого. Тогда
вектор суммы задаётся третьей стороной
образовавшегося треугольника, причём
его начало совпадает с началом первого
вектора, а конец с концом второго вектора.
Операция
умножения вводится следующим образом:
пусть есть вектор 
и
число λ, тогда вектор 
получается
изменением длины вектора
в λ раз.
Направление вектора сохраняется, если λ
> 0 и меняется, если λ < 0.
Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.
Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограммаоба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.
Геометрическая интерпретация
Линейному пространству можно дать удобную геометрическую интерпретацию. Представим себе N-мерное пространство, в котором базисные вектора задают направления осей координат. Тогда произвольный вектор x = (x1, x2,...,xN)t можно изобразить точкой в этом пространстве с координатами (x1, x2,...,xN).
Рис. 25 Координатное пространство
5.Условие перпендикулярности и параллельности векторов. Условие компланарности векторов.
Условие перпендикулярности векторов.
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Даны два вектора a(
)
и b(
).
Эти векторы будут перпендикулярны, если
выражение
=
0.
Векторы параллельны,
если
Векторы, расположенные в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости называются компланарными.
Пусть
— векторы пространства
,
тогда верны следующие утверждения:
-Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.
-Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
-Смешанное произведение
компланарных векторов
.
-Компланарные векторы — линейно зависимы.
6.Проекция вектора на ось и её свойства.
Проекцией
т.
на
ось
именуется основание перпендикуляра
,
который опущен из т.
на
:
.
Составляющей вектора
по
оси
является
число
.
Используется знак (+) , если
,
и знак (-) — когда
.В
том случае если
является
единичным вектором (то есть
)
в направлении
,
то
.
Рис. 2.7
Свойства проекций
10.
,
где
.
Если
,
тогда из
получаем
(рис.
2.8).
Если
,
то
(рис.
2.9).
20. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций векторов на .
Доказательство будет геометрическим (рис 2.10).
Рис. 2.8
Рис. 2.9
Рис. 2.10
30.
.
доказательство осуществляется исходя
из свойства 10.