Линейное (векторное) пространство

Как известно, линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число) определены по-своему для каждого множества (числа, многочлены, направленные отрезки, матрицы). Сами операции различны, но их свойства одинаковы.

            Эта общность свойств позволяет обобщить понятие линейных операций для любых множеств вне зависимости от того, что это за множества (числа, матрицы и т.д.).

            Для того, чтобы дать определение линейного (векторного) пространства рассмотрим некоторое множество L действительных элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число.

 Эти операции обладают свойствами:

                  1) Коммутативность + = +

            2) Ассоциативность  (+) + = + (+)

3)Существует такой нулевой вектор , что +=для  L

4) Для  L существует вектор  = -, такой, что +=

            5)1 =

            6) () = ()

            7) Распределительный закон ( + ) = + 

            8) (+) = + 

 

            Определение: Множество L, элементы которого обладают перечисленными выше свойствами, называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами.

            Важно не путать понятие вектора, приведенное выше с понятием вектора как направленного отрезка на плоскости или в пространстве. Направленные отрезки являются всего лишь частным случаем элементов линейного (векторного) пространства. Линейное (векторное) пространство – понятие более широкое. Примерами таких пространств могут служить множество действительных чисел, множество векторов на плоскости и в пространстве, матрицы и т.д.

            Если операции сложения и умножения на число определены для действительных элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным пространством, если для комплексных элементов – комплексным пространством.

2.1.1. Пространство арифметических векторов R ⁿ. Линейные операции с векторами

Определение. Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается  , числа   называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число:  ,

для любых  и  и любого числа 

Определение. Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов Rⁿ.

Вектор  называется нулевым вектором, а вектор  — противоположным вектором для вектора  .

Для любых  ,  ,   из Rⁿ и любых чисел ,  справедливо:

1. , сложение коммутативно;

2. ,сложение ассоциативно;

3. 

4. 

5. , умножение на число ассоциативно;

6. ;

7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Примерами пространства арифметических векторов являются пространства геометрических векторов на плоскости, записанных в координатной форме.

2.Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами.

Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

1.Сложение векторов. Под суммой двух векторов а и b понимается вектор с, исходящий из общего начала двух данных векторов, и являющийся диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах.

2. Умножение вектора на число. Произведением вектора а на число k называется вектор, который:

-коллинеарен вектору а ;

-сонаправлен ему, если k > 0, или противоположнонаправлен, если k < 0;

-длины связаны следующим соотношением: