22. Прямая на плоскости. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Параметрическое уравнение прямой.

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой принадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей --   и   , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

Ур-ние (1)

 наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

Уравнения (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Можно задать прямую в пространстве и другим способом.

Ненулевой вектор, лежащий на прямой (параллельный ей) называется направляющим вектором прямой.

Пусть для прямой   известны ее направляющий вектор   и точка   , лежащая на этой прямой. Пусть    -- произвольная (текущая) точка прямой   . Обозначим через   и r радиус-векторы точек   и   соответственно (рис. 11.11).

Рис.11.11.Векторное уравнение прямой

Тогда вектор   коллинеарен вектору p и, следовательно,   , где    -- некоторое число. Из рис. 11.11 видно, что

(11.12)

Это уравнение называется векторным уравнением прямой или уравнением в векторной форме. При каждом значении параметра   мы будем получать новую точку   на прямой  .

Уравнение прямой проходящей через 2 точки.

Пусть на координатной плоскости   заданы две точки   и  . Требуется составить уравнение прямой, проходящей через заданные точки.

Как показано в разделе Применение векторов, точка   принадлежит прямой   тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор   удовлетворяет условию (рис.3.18):

где   — некоторое действительное число (параметр). Уравнение (3.14), а также его координатную форму

будем называть аффинным уравнением прямой, проходящей через две точки   и  .

Выражая параметр   из первого и второго уравнений системы (3.15), получаем:  . Исключая параметр  , приходим к уравнению прямой, проходящей через две точки   и  :

Уравнение (3.16) можно получить из канонического уравнения (3.13), выбирая в качестве направляющего вектора   вектор  , т.е. подставляя  .

Параметрическое ур-ние прямой

Определение. Любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой называется ее направляющим вектором.

   Пусть L – произвольная прямая и   – ее произвольная, но фиксированная точка, О – начало координат,   – произвольная (текущая) точка прямой L,   – радиус вектор точки  ,   – радиус вектор текущей точки М,   – произвольный направляющий вектор прямой L.

           

                                        рис.5.

Теорема. Следующая система уравнений является параметрическими уравнениями прямой:

                               ,    ,                             (7)

где   – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой,   – соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой, t – параметр.

   Доказательство. В соответствии с определением уравнения любого множества точек координатного пространства, мы должны доказать, что уравнениям (7) удовлетворяют все точки прямой L и, с другой стороны, не удовлетворяют координаты точки не лежащей на прямой.

   Пусть произвольная точка  . Тогда векторы   и   являются по определению коллинеарными и по теореме о коллинеарности двух векторов следует, что один из них линейно выражается через другой, т.е. найдется такое число  , что  . Из равенства векторов   и   следует равенство их координат:

,  ,  , ч.т.д.

   Обратно, пусть точка  . Тогда   и по теореме о коллинеарности векторов ни один из них не может быть линейно выражен через другой, т.е.     и хотя бы одно из равенств (7) не выполняется. Таким образом, уравнениям (7) удовлетворяют координатытолько тех точек, которые лежат на прямой L и только они, ч.т.д.

Теорема доказана.