31.Формула перехода к новому базису линейного пространства. Линейная функция и линейный оператор в различных базисах.

Пусть заданы линейные пространства X и Y. Правило, по которому  каждому элементу x e X ставится в соответствие единственный элемент y e Y , называется оператором, действующим в линейных пространствах X , Y. Результат  действия оператора A на элемент x обозначают y = A x или  y = A(x).  Если элементы x и y связаны соотношением y = A x, то y называют образом элемента x; элемент xпрообразом элемента y.

Множество элементов линейного пространства X, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора и обозначают D(A).

Множество элементов линейного пространства Y, которые являются образами элементов из области определения  оператора A, называют образом оператора и обозначают Im(A). Если y = A x  , то x e D(A), ye Im(A) .

Оператор A, действующий в линейных пространствах X , Y называется линейным оператором, если

A(u+v)=A(u)+A(v) и A(au)=aA(u)  и  для любых u,v e X  и для любого числа a.

Если пространства X и Y совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве X. В дальнейшем ограничимся рассмотрением линейных операторов, действующих в линейном пространстве X.

Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(x)=n  и пусть e₁,  e₂, ..., e_n - базис в X. Обозначим через A e₁ = (a₁₁,...,a_n1), ... , A e_n = (a_1n,...,a_nn) образы базисных векторов e₁,  e₂, ..., e_n .

Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно   каждая  квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

с одной стороны, связывают координаты образа y = A x с координатами прообраза X, с другой стороны,  описывают действие оператора, заданного матрицей A.

При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса e = {e₁, ... , e_n}  к базису e' = {e'₁, ... , e'_n} . Связь между матрицей A_e  оператора A в базисе e  и матрицей A_e'  этого оператора в базисе e' задается формулой 

Здесь    -  матрица перехода от базиса e к базису  e' и обратная к ней.

32. Квадратичная форма и её матрица.

Квадратичной формой L(x1,x2…xn) n-переменных,назыывается сумма каждый член которой,является либо квадратом одной из переменных,либо произведением двух разных переенных взятых с некоторым коэфицентом

aij-коэфицент матричной формы

A=(aij)-матрица квадратичной формы

L= -матричная запись квадратичной формы

Пусть матрица,столбцы переменных х и у

Связанны линейным соотношением,где (X=CY) C-есть некоторая невырожденая матрица,тогда кв.форма

При невырожденом линейном преобразовании X=CY ,матрица квадратичной формы принимает вид