Скалярное произведение в н-мерном пространстве. Определение, свойства, угол между векторам
и.
27.Скалярное произведение в n-мерном пространстве.Определение,свойства,угол между векторами
Рассмотрим линейное пространство V, в котором уже есть 2 операции (сложение и
умножение). В этом пространстве введем еще одну операцию. Она будет
удовлетворять следующим аксиомам.
1.
2.
3.
4.
Указанная операция называется скалярным произведением векторов. N – мерное
линейное пространство с введенной операцией скалярного произведения, называется Евклидовым пространством.
Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня и скалярного квадрата.
Длина вектора удовлетворяет следующим условиям:
1.
,
если
2.
3.
- неравенство Коши-Буня 4.
-
неравенство треугольника
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число,
равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.
1.
2.
3.
4.
28.Кривые второго порядка. Анализ уравнения. Виды крывих
Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
в
котором по крайней мере один из
коэффициентов
отличен
от нуля.
Классификация кривых второго порядка
Невырожденные кривые
Кривая второго
порядка называется невырожденной,
если
Могут
возникать следующие варианты:
Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если
эллипс — при условии D > 0 и ΔI < 0;
частный случай эллипса — окружность — при условии I2 = 4D или a11 = a22,a12 = 0;
мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии ΔI > 0;
гипербола — при условии D < 0;
Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если ΔI = 0
парабола — при условии D = 0.
Вырожденные кривые
Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:
вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D < 0;
пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D > 0;
вырожденная парабола — при условии D = 0:
пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0;
одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;
пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.
2 9. Окружность. Вывод канонического уравнения
Если
точка С
-
центр окружности,
R -
ее радиус, а M
-
произвольная точка окружности, то из
определения окружности следует, что
.
Последнее равенство есть характеристическое
уравнение окружности радиуса R
с
центром в точке
C.
Пусть
на плоскости задана прямоугольная
декартова система координат и точка
C(a;b)
-
центр окружности радиуса R.
Пусть
-
произвольная точка этой окружности.
Как известно, расстояние
,
поэтому уравнение можно записать так:
или
- общее уравнение окружности радиуса R с центром в точке C.
Если центр окружности совпадает с началом координат, то общее уравнение примет вид
Это уравнение называют каноническим уравнением окружности.
30.
Эллипс.Вывод канонического уравнения
Эллипсом
называется множ всех точек плоск,сумма
расстояний от каждой из которых до двух
данных точек этой плоскости,называемых
фокусами,есть величина постоянная,большая,чем
расстояние между фокусами.
Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса.
Т.к. MF1 + MF2 = 2a
Т.к.
То
получаем
Или
Эллипс-кривая второго порядка
Гипербола.Вывод канонического уравнения
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности
расстояний от каждой из которых до двух фокусов есть величина постоянная,меньшая,чем расстояние между фокусами
Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению
гиперболы |MF1 – MF2|=2a или MF1 – MF2
=±2a,
Парабола.Вывод канонического уравнения
Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково
удалена от фокуса, и директрисы. Расстояние между фокусом и директрисой
называется параметром параболы и обозначается через р (р>0).
Пусть
M(x;y) – произвольная точка M с F. Проведем
отрезок MN перпендикулярно директрисе.
Согласно определению MF=MN.
