Вопрос 5

Прямые и обратные задачи гравиразведки

Основой интерпретации данных гравиразведки является решение прямых и об-

ратных задач. Прямая задача гравиразведки состоит в определении элементов поля си-

лы тяжести (Δg, WXZ, WYZ и т. д.) по заданному распределению его источников, когда

известны форма, размеры, глубина залегания и величина избыточной плотности. Об-

ратная задача гравиразведки ставит противоположную цель — нахождение параметров

объекта (формы, размеров, глубины залегания, избыточной плотности) по известному

распределению (на профиле или на площади) элементов силы тяжести.

Более подробную информацию можно найти в пдф файле ( глава 2) стр

Аналитические способы решения прямых задач гравиразведки.

Аномалия силы тяжести, вызванная притяжением тел известной формы, размера и плотности, может быть вычислена на основании закона всемирного притяжения (закон Ньютона).

Пусть в координатной системе xyz ось z направлена вниз к центру Земли. Ставится задача определить в точке наблюдения А(x,y,z) аномальную силу тяжести ( ), т.е. вертикальную составляющую силы притяжения Землей единицы массы ( ) элементарной массой dm, находящейся в точке M (x',y',z') (рис. 1.2).

По закону Ньютона притяжение единичной массы равно: 

f=Gdm/r2,

где  - гравитационная постоянная,   - расстояние между точками (см. 1.4). 

Аномалия   является проекцией вектора f на ось z: 

(1.6)

где из треугольника ABM  . Это же выражение можно получить с помощью потенциала W=Gdm/r. В самом деле: 

(1.7)

Обозначив плотность притягивающей массы через  , а ее объем через dV, можно записать 

(1.8)

Такова будет аномалия силы тяжести, обусловленная массой, расположенной в пустоте. В природных условиях аномальные включения расположены во вмещающей среде с некоторой плотностью   , поэтому под массой dm надо понимать избыточную массу  .

Отсюда 

(1.9)

где   - избыточная плотность.

При     имеет положительный знак, т.е. наблюдается увеличение притяжения и положительные аномалии  . При     имеет отрицательный знак, т.е. наблюдается уменьшение притяжения и отрицательные аномалии  .

В принципе аномалия, созданная любым телом, может быть определена интегралом по объему тела: 

(1.10)

т.е. суммой притяжений всех элементарных объемов, из которых состоит тело.

Рассмотрим несколько прямых и обратных задач для тел простой геометрической формы.

1.3.2. Прямая и обратная задачи над шаром.

1. Прямая задача. Пусть однородный шар радиуса   и плотности   расположен на глубине   в среде с плотностью   (для простоты центр находится на оси z, а наблюдения проводятся по оси x в точке P) (рис. 1.3).

Рис.1.3 Гравитационное поле шара

Формула для вычисления   может быть получена из (1.6) - (1.9) путем замены элемента   массой шара в силу того, что притяжение однородным шаром происходит так, как если бы вся масса была сосредоточена в центре шара. Учтя, чтоx'=y'=0,z'=h,y=z=0, получим для шара 

(1.11)

График   будет иметь максимум над шаром (x=0) и асимптотически стремиться к нулю при удалении от шара. В плане изолинии   будут иметь вид концентрических окружностей.

Вторая производная (градиент аномалии по профилю наблюдений) равна: 

Вид кривой W_xz может быть легко получен путем графического построения из кривой  . График W_xz имеет перед шаром максимум, за шаром - минимум, над центром шара - ноль.

2. Обратная задача. Из (1.11) максимум   над центром шара (x=0) равен  .

Для точки, удаленной от максимума на расстояние x_1/2, имеющей  , можно записать следующее уравнение: 

Решив последнее уравнение, получим формулу для определения глубины залегания центра шара h=1,3x_1/2. Зная  , легко найти избыточную массу ( ):  .

Так как   то, зная избыточную плотность  , можно рассчитать объем ( ) и радиус шара ( ). Так, радиус равен: 

где   - в миллигалах,   - в метрах,   - в тоннах / куб. метр (г/см³).