Психолого-педагогические основы технологии развивающего обучения математике

Гуманистический подход в образовании предполагает создание максимально благоприятных условий для умственного, нравственного, эмоционального, физического развития личности. Это требует научного переосмысления сущности каждого элемента методической системы обучения математике: целей, содержания, методов, форм, средств (технологий) обучения. В данной главе предпринимается попытка проанализировать выделенные элементы с современных позиций.

Цели общего математического образования. Учебные цели.

Цели математического образования обусловлены общими целями образования. До недавнего времени последние трактовались как выполнение социального заказа общества, суть которого сводилась к овладению школьниками основами наук. В настоящее время на рубеже XXI века идет интенсивный процесс реформирования всех сторон образования: происходит переосмысление целей, создание новых типов учебных заведений, модернизация содержания, поиск новых моделей обучения и т.д.

В идеале цели образования должны гармонично сочетать цели, кото­рые преследует конкретный человек и общество в целом. Запросы общества и личности сложным образом связаны друг с другом. Максимальное раскрытие творческих способностей и их реализация являются бла­гом одновременно и для общества, и для самого человека.

Цель современного образования — предельно достижимое развитие тех способностей личности, которые нужны и ей, и обществу, формирование социально активной личности, обеспечение ей возможностей эффективного самообразования.

Таким образом, основная цель образования — становление и развитие творческой личности — является главной и при обучении-математике. При таком подходе математическое образование выступает как средство реализации главной цели, как средство развития личности.

Достижение этой цели возможно лишь в том случае, если будут вы­явлены и реализованы в процессе обучения потенциальные возможности математики как науки, в том числе связанные со спецификой творческой математической деятельности.

Конкретные математические знания имеют практическую значи­мость, так как являются инструментом, необходимым человеку в его продуктивной деятельности: а) в повседневной жизни и профессиональной деятельности, содержание которой не требует использования математических знаний, выходящих за пределы потребностей повседневной жизни; б) в изучении на современном уровне предметов естественно-научного и гуманитарного циклов; в) в продолжении изучения математики в любой из форм системы непрерывного образования.

Специфика математического метода, творческой математической деятельности (в которую естественным образом включаются индукция и дедукция, анализ и синтез, аналогия, обобщение и конкретизация, классификация и систематизация, абстрагирование, интуиция и логика), математического языка, связи математики с действительностью, история математики являются тем потенциалом математического образования, который определяет духовное и интеллектуальное становление и развитие личности.

Исходя из сказанного, цели общего математического образования состоят в следующем:

• Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

• интеллектуальное развитие учащихся, формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности;

• духовное, эмоциональное развитие, связанное с включением школьников в творческую математическую деятельность;

• формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Описанные цели образования являются стратегическими. Далее, при отборе содержания различных математических дисциплин, идет их уточнение и они формулируются в виде задач. Вместе с тем все они не являются краткосрочными, а следовательно, и недостаточно диагностируемыми. И лишь на этапе проектирования изучения темы, проектирования системы уроков по ней, разработки конкретного урока и его этапов появляется возможность постановка диагностируемых целей. Поскольку, как было сказано выше, технология обучения определяется четко поставленными диагностируемыми целями обучения и этот вопрос в методике обучения математике пока недостаточно разработан, мы на нем остановимся подробнее.

Известно, что цель — это "идеальное, мысленное предвосхищение результата деятельности" [39, с. 1480], и в программах эти результаты традиционно описываются через знания, умения и навыки, представления, интеллектуальные качества личности в виде способностей и возможностей учащихся. Следовательно, и цели конкретного урока или цикла уроков должны отражать ожидаемые результаты обучения. Однако практика показывает, что чаще всего учителя, следуя программе, формулируют цели либо через конкретное содержание типа "ввести, сформировать понятие", либо через собственную деятельность, например, "показать прием решения...", "выработать умения..." и т. п. И в том и другом вариантах, намечая свои действия, учитель, фактически, не описывает ожидаемые результаты своей деятельности.

Действительно, что ожидает учитель, планируя "сформировать поня­тие"? Видимо, что ученик узнает о новом понятии, скорее, услышит о нем. Сможет ли ученик отличить новое понятие от других и по каким параметрам, будет ли он учиться применять его и сколько на это потребуется уроков? На эти и ряд других вопросов ответить однозначно нельзя, значит, нельзя говорить и о том, что поставленная цель предвосхищает результат. В этих случаях говорят, что цели не являются диагностируемыми.

Формулируя наряду с образовательными так называемые развиваю­щие цели типа "развивать мышление, аналитические умения и навыки", учитель указывает более обобщенные цели, которые уместны на уровне учебного предмета или цикла предметов, но не на конкретном уроке. В такой формулировке опять отсутствуют ожидаемые результаты, и цель не является диагностируемой.

Попытка сформулировать цели через учебную деятельность учащих­ся, например: "цель урока — решение задач на нахождение корней квадратного уравнения" — вносит определенность в планирование и проведение урока. Однако и здесь из поля зрения выпадает подходящий момент — ожидаемый результат обучения, его следствия.

Сторонники педагогической технологии считают, что «цели обучения должны формулироваться через результаты обучения, выраженные в действиях учащихся, причем таких, которые учитель или какой-либо другой эксперт могут надежно опознать»[17, с. 28]. Здесь возникает ещё одна проблема — проблема перевода результатов обучения на язык действий так, чтобы они согласовывались с требованиями программы и не противоречили друг другу.

Одним из способов решения проблемы является построение четкой системы целей, внутри которой выделены их категории и последовательные уровни (иерархия), — такие системы получили название педа­гогических таксономии.

Среди отечественных таксономии можно выделить классификации, предложенные В. П. Беспалько и И. Я. Лернером [2; 22). Хотя для проведения классификации авторы выбрали разные основания, тем не менее в них четко выделены три возможных уровня усвоения. Первый уровень характеризуется умением учащихся воспроизвести знания о действиях, второй — умением воспроизводить действия в знакомых или легко опознаваемых ситуациях, третий— умением применять эти действия творчески.

В основе таксономии целей обучения, предложенной еще в 1956 г. Б. Блумом, лежит классификация учебного материала, подлежащего изучению. В ней цели изучения содержания рассматриваются на уровне усвоения человеком знаний и овладения определенными действиями. При этом в основе такого усвоения лежат как умения узнать и воспроиз­вести учебный материал, так и выработка интеллектуальных умений, связанных с практическим использованием усвоенных знаний. В соот­ветствии с этим автор подразделяет цели обучения на две большие группы. "Знания" и "Интеллектуальные умения и навыки" — и описывает их через категории: знание понимание применение ->анализ -> синтез -> оценка.

Каждая из этих групп целей подразделяется на подгруппы, располо­женные в порядке нарастания абстрактности и универсальности (табл. 1).

Таблица 1

Категории учебных целей в когнитивной области

Основные категории учебных целей	Примеры обобщенных типов учебных целей
1	2
Знание Эта категория обозначает запоминание и воспроизведение изученного материала. Речь может идти о различных видах содержания — от конкретных фактов до целостных теорий Общая черта этой категории — припоминание соответствующих сведений.	2. Ученик знает употребляемые термины, -знает конкретные факты, -знает методы и процедуры, -знает основные понятия, -знает правила и принципы
Понимание Показателем способности понимать назначение изученного может служить преобразование (трансляция) материала из одной формы выражения в другую, "перевод" его с одного "языка" на другой (например, из словесной формы — в математическую). В качестве показателя понимания может также выступать интерпретация материала учеником (объяснение, краткое изложение) или же предположение о дальнейшем ходе явлений, событий (предсказание последствий, результатов). Такие учебные результаты превосходят простое запоминание материала.	Ученик понимает факты, правила и принципы, интерпретирует словесный материал, интерпретирует схемы, графики, диаграммы, преобразует словесный материал в математические выражения, предположительно описывает будущие последствия, вытекающие из имеющихся данных
Применение Эта категория обозначает умение использовать изученный материал в конкретных условиях и новых ситуациях. Сюда входит применение правил, методов, понятий, законов, принципов, теорий. Соответствующие результаты обучения требуют более высокого уровня владения мате­риалом, чем понимание.	Ученик -использует понятие и принципы в новых ситуациях, -применяет законы, теории в конкретных практических ситуациях, -демонстрирует правильное применение метода или процедуры

1	2
Анализ Эта категория обозначает умение разбить материал на составляющие так, чтобы ясно выступала его структура. Сюда относится вычленение целого, выявление взаимосвязей между ними, осознание принципов организации целого. Учебные результаты характеризуются при этом более высоким интеллектуальным уровнем, чем понимание и примене­ние, поскольку требуют осознания как содержания учебного материала, так и его внутреннего строения	Ученик -выделяет скрытые (неявные) пред положения, -видит ошибки и упущения в логике рассуждения, частей -проводит различия между фактами и следствиями, -оценивает значимость данных
Синтез Эта категория обозначает умение комбинировать элементы, чтобы получить целое, обладающее новизной. Таким новым продуктом может быть сообщение (выступление, доклад), план действий или совокупность обобщенных связей (схемы для упорядочения имеющихся сведений). Соответствующие учебные результаты предполагают деятельность творческого характера, с акцентом на создание юных схем и структур.	Ученик -пишет небольшое творческое сочинение -предлагает план проведение эксперимента, -использует знания из разных областей, чтобы составить план решения той или иной проблемы
Оценка Эта категория обозначает умение оценивать значение того или иного материала (утверждения, художественного произведения, исследовательских данных) для конкретной цели. Суждения ученика должны основыватъся на четких критериях. Критерии могут быть как внутренними (структурными, логическими), так и внешними (соответствие намеченной цели). Критерии могут определяться самим учащимся или же задаваться ему извне (например, учителем). Дан­ная категория предполагает достижение учебных результатов по всем предшествующим категориям плюс оценочные суждения, основанные на ясно очерченных критериях	Ученик -оценивает логику построения мате- риала в виде письменного текста, -оценивает соответствие выводов имеющимся данным, -оценивает значимость того или иного продукта деятельности, исходя из внутренних критериев, -оценивает значимость того или иного продукта деятельности, исходя из внешних критериев качеств

Использование таксономии Б. Блума для конкретизации целей изу­чения математики невозможно без выполнения следующих требований. Во-первых, систему конкретных целей необходимо описать (где это возможно) через наблюдаемые действия учащихся по усвоению матема­тического материала. Во-вторых, выстраиваемая система целей изуче­ния математики должна быть описана так, чтобы на ее основе учитель мог прогнозировать результаты своей работы и адекватно их оценивать в конце каждого этапа. И наконец, в-третьих, в ней должны быть сфор­мулированы критерии достижения целей так, чтобы их можно было использовать при разработке конкретной технологии обучения.

Конкретизация целей усвоения учащимися дидактических единиц и познавательных средств по оперированию с этими единицами на уров­нях "знание", "понимание", "применение" будет описана в пп. 2.1—2.3 при построении соответствующих технологий обучения.

Цели обучения на уровнях анализа, синтеза, оценки описать через наблюдение действий обучаемых довольно трудно, Действительно, как отдельные мыслительные операции анализ, синтез и оценка должны, на наш взгляд, быть предметом усвоения, наряду с основными дидактиче­скими единицами, на первых трех названных уровнях обучения. Даль­нейшее их становление и применение как по отдельности, так и в ком­плексе происходит тогда, когда они становятся средством усвоения, т. е. средством приобретения новых теоретических знаний. В процессе обу­чения это предполагает создание ситуаций, в которых обучаемый с раз­ной степенью самостоятельности осуществляет частично-поисковую, исследовательскую деятельность по получению субъективно новой ин­формации. Следовательно, в математике названные цели реализуются в процессе решения нетиповых нестандартных задач. Значит, и диагно­стировать их можно по результатам решения специально подобранных построенных задач. Диагностируемые цели в этом случае будут, носить обобщенный, описательный и, вообще говоря, субъективный характер, во многом зависящий от уровня квалификации проверяющего.

Подведем итоги. Этап целеполагания при проектировании системы уроков по теме предполагает постановку конкретных целей, понятных всем, кто будет работать для их достижения. Цель как планируемый, ожидаемый результат деятельности должна быть легко, диагностируе­мой, т. е. позволяющей соотнести полученный результат деятельности с ее целью. Поэтому формулировка цели должна отражать видение преподавателем конечного результата в итоге изучения определенней темы и уровни усвоения учениками дидактических единиц темы. В ней должно быть зафиксировано и планируемое интеллектуальное развитие уча­щихся в процессе получения навыка в совершенствовании ряда мысли­тельных операций (анализа, синтеза, обобщения, классификаций, систе­матизации и т. п.) или в совершенствовании умения пользоваться кон­кретными познавательными средствами.

Цель конкретного урока или его этапа может отражать примерно следующее: какие дидактические единицы (понятия, теоремы, правила и т. п. и на каком уровне должны усвоить учащиеся в результате (в ходе) урока; как будет раскрыто, например, содержание нового понятия и его основных признаков; что учащиеся должны будут научиться находить, определять, вычислять и т. п., какие формулировки математических предложений учащиеся должны будут усвоить и на каком уровне; задачи какого типа они должны научиться решать; алгоритм каких действий должен быть у них выработан и что они будут должны уметь делать, обосновывать или применять на практике и т. п. Здесь учитель планирует и то, какие выводы должны будут научиться делать учащиеся; что они должны научиться проектировать (составлять, прогнозировать), т. е. планирует уровень изучения познавательных средств по оперированию с новыми дидактическими единицами.

Примеры постановки диагностируемых целей по разработке техно­логии развивающего обучения математике будут приведены в соответ­ствующих разделах работу.

Методология научного поиска в математике как основа проектирования технологий развивающего обучения.

Реализация основной цели математического образования — станов­ления и развития личности как системного явления средствами матема­тики — невозможна без адекватного математического содержания, ко­торое должны усваивать школьники. В соответствии с этим проанализи­руем такие основополагающие категории, как "знание", "усвоение".

Современная философия "знание" трактует как результат и как процесс получения этого результата.

Педагогическая психология в понятие "содержание образования" вкладывает более широкий смысл, чем это принято пока в практике работы учителя. Так, Д. Б. Эльконин пишет: "Если мы хотим, чтобы обучение в начальных классах было развивающим, то мы должны поза­ботиться прежде всего о научности содержания, т. е. о том, чтобы дети усваивали систему научных понятий и способы их получения {49, с. 64].

В. В. Давыдов считает, что знание следует рассматривать, с одной стороны, как результат мыслительных действий, а с другой — как процесс получения этого результата. "Следовательно, вполне допустимо термином "знания" одновременно обозначать и результат мышления (отражение действительности) и процесс его получения (т. е. мысли­тельные действия)"[13, с. 152]. И. С. Якиманская говорит о том, что для усвоения должны задаваться две системы знаний. Знания первого рода включают в себя научные сведения о предметах, фактах, явлениях в их связях и отношениях. В знаниях второго рода зафиксированы путь и методы получения этих знаний учеником [50, с. 17]. Известный дидакт И. Я. Лернер показывает, что знания, которые должны усваивать школьники, не однородны по своему составу. Кроме усвоения знаний о терминах и понятиях, фактах, законах и теориях, школьники должны усваивать и методологические знания. "Последние включают в себя знания о методах, процессе и истории познания, о конкретных методах науки, о различных способах деятельности [23, с. 10].

Таким образом, в понятия "содержание образования", "знание" входят две компоненты: информационная (знание фактов, законов, теорий) и познавательная (процесс и законы познания, средства познания).

Только в том случае школьник будет субъектом, соучастником обучения, если в математическом знании (а следовательно; и в содержании) будет отражен и процесс его получения, что, в основном, и определяет гуманитарный характер содержания.

Овладеть таким содержанием школьник может лишь в процессе спе­циально организованной учебной деятельности. Хотя учебная деятель­ность школьников, считает В. В. Давыдов, развертывается В соответствии со способом изложения уже полученных людьми продуктов Духовной культуры, однако внутри этой деятельности в своеобразной форме сохраняются ситуации и действия, которые были присуши процессу реального создания таких продуктов, благодаря чему способ их получения сокращенно воспроизводится в индивидуальном сознании школьников [13, с. 152]. В концепции учебной деятельности особое Внимание уделяется организаций учебного материала в соответствии с логикой и методологией научного познания. "Развивает не само знание, а специальное его конструирование, моделирующее содержание научной области, методы ее познания", — пишет И. С. Якиманская [51, с. 66]. Таким образом, осваивая постепенно усложняющуюся учебную математическую деятельность, школьник развивается, развиваются его познавательные способности.

В соответствии со сказанным, выявление средств познания и их специфики в математической деятельности следует вести с позиций методологии научного поиска в математике.

С точки зрения современной философии в содержание методологиинаучного поиска входят:

• история развития науки;

• процесс познания;

• общенаучные методы познания, характерные для всех наук; они состоят из методов эмпирического исследования (наблюдение, измерение, эксперимент), методов теоретического исследования (абстрагирование,идеализация, формализация, гипотеза, аксиоматический метод), межуровневых методов (анализ и синтез, индукция и дедукция, классификация, сравнение, аналогия и др.);

• основные логические формы и закона мышления;

• общенаучные подходы к изучению явлений;

• мировоззренческое знание (научная картина мира, стиль научного мышления и т. п.),

• частные методы (например, методы решения арифметических задач, аналитические методы в геометрии, приемы решения различных типов уравнений и т. д.).

Попытаемся раскрыть те из этих общих положений, которые имеют непосредственное отношение к изучению математики в школе.

Прежде всего, следует проследить путь познания в математической науке, поскольку, как было сказано выше, включение школьника в математическую деятельность предполагает построение учебного процесса, адекватного процессу зарождения и развития математических знаний в их историческом аспекте. Конечно, процесс познания в математике шел разными путями. Мы выделяем тот, который является ведущим при становлении математической науки и который важен с точки зрения разработки технологии обучения математике. Он может быть представ­лен следующей схемой.

Н акопление Выдвижение Проверка Построение Выход в практику

ф актов гипотез истинности теории доказательством

Как и всякая схема, она довольно условна, но может иметь непосредственное реальное воплощение в процессе обучения. Например, в "соответствии с ней деятельность школьников по изучению теорем на уроке может быть организована следующим образом.

Самостоятельное Выдвижение Поиск доказа-

открытие матема гипотезы тельства ее ис- Доказательство

тической законо- тинности или

мерности опровержения

Для конструирования такой технологии обучения учителю важно знать, какие методы научного познания характерны для каждого этапа (табл.2).

К числу эвристических методов науки относятся наблюдение и сравнение, анализ и синтез, эксперимент (вычисления, построения, моделирования, измерения) и обобщение, неполная индукция, аналогия. Все эти методы приводят к выдвижению гипотез, истинность или ложность которых требуется установить. Ценность эвристических методов в процессе обучения состоит в том, что они формируют эвристические интеллектуальные умения, развивают интуитивное мышление школьника, которое является Неотъемлемой чертой творческого мышления.

Таблица2

Путь познания в математике.

В то же время к открытию математических фактов и закономерностей приводят и дедуктивные рассуждения.

На этапе поиска доказательства теорем, решения задач также важно использовать методы научного познания: аналогию, неполную индукцию, восходящий и нисходящий анализ, синтез, сочетания анализа и синтеза.

При разработке методики этапа доказательства теоремы, решения задачи на первое место выступает формирование логических умений.

Целесообразно организованная учителем деятельность учащихся на этапе доказательства теорем позволяет развивать их логическую культуру и связанный с ней математический стиль мышления. Последние понятия всесторонне и убедительно раскрыты известным математиком и педагогом А. Я. Хинчиным [31]. Основным определяющим признаком культуры математического мышления он считал полноценность аргументации.

Полноценность аргументации предполагает:

• освоение учеником идеи доказательства;

• умение пользоваться определениями понятий (осознавать их логическую структуру, уметь выполнять действия подведения под понятие и выведение следствий);

• умение работать с теоремами (понимать логическое строение теоремы, сущность прямой и обратной теорем и т. д.);

• владение общими логическими методами доказательств: аналитическим, синтетическим, методом от противного, полной индукцией, математической индукцией;

• владение частными методами и приемами, характерными для той или иной темы.

В то же время воспитание у школьников культуры мысли А. Я. Хин-чин связывает и с осознанием сущности эвристических методов науки. Школьники должны понимать, что обобщения, основанные на аналогии, неполной индукции, требуют аргументированного, доказательства. Выполнение полноты дизъюнкции в рассуждениях, рассмотрения всех возможных случаев изучаемой ситуации является необходимой принадлежностью всякого правильного мышления, а не только математического.

С понятием культуры мышления неразрывно связан и стиль математического мышления. А. Я. Хинчин выделяет следующие характеризующие его признаки:

• доведенное до предела доминирование логической схемы рассуж­дения, что в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и заставляет мыслящего при каждой дизъюнкции иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую, не пропуская ни одной,

• лаконизм мышления: предельная скупость, суровая строгость мыс­ли и ее изложения;

• четкая расчлененность хода рассуждения;

• точность символики.

В систему методологических знаний входят ведущие идеи и принципы математики: идея развития понятие числа, функциональная линия, линия уравнений и неравенств и т.д.

Таким образом, система научных знаний, которые должны усваивать школьники, являющаяся ведущим компонентом в структуре умственного развития, включает в себя знания в их традиционном понимании, общие способы мышления (мыслительные операции), методологию научного поиска в математике. Все элементы этой сложной системы взаимосвязаны и взаимообусловлены. Усвоение способов мышления , возможно только на конкретном содержании, в которое будем включать знание понятий и их определений, теорем и их доказательств и знание способов получения этих знаний. В процессе учебно-познавательной деятельности общие приемы мышления и методы научного познания в математике сливаются воедино и являются движущей силой интеллектуального развития обучаемого. В то же время усвоенные определения Понятий, формулировки теорем и их доказательства алгоритмы решения задач на этапе более сложной аналитико-синтетической деятельности школьника также становятся средствами познания.

Представленное в табл. 3 выделение основных компонентов системы научных знаний не является какой-либо классификацией и сделано, лишь с целью более отчетливого понимания, какое математическое содержание должны усвоить школьники. Обучение, в основу которого положена методология научного поиска в математике, развивает вес основные общие интеллектуальные умения ученика (логические, эвристические, речевые), а также формирует основные компоненты теоретического мышления (анализ, планирование, рефлексию).

Участие школьников в самостоятельном (конечно, управляемом учителем) поиске и является средством овладения школьниками способами математической деятельности. В то же время эвристические методы науки при таком подходе являются определяющими в выборе методов обучения. В зависимости от степени самостоятельности учащихся в поиске новых для них знаний учитель выбирает и метод Обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемное изложение, частично-поисковый или исследовательский..

Сказанное позволяет заключить, что методологи» научного поиска является, с одной стороны, важнейшим компонентом содержания математического образования, а с другой — определяет структуру учебно-познавательной деятельности школьников и связанный с этим выбор учителем методов обучения. Методологические знания выступают одно­временно и как предмет усвоения, и как источник развития мышления.

Включение школьника в творческую математическую деятельность (субъективно-творческую, поскольку уровень творчества в процессе обучения будет различным у разных учеников) и связанные с соответствующей интеллектуальной деятельностью эмоциональные и духовные переживания позволяют сделать обучение математике личностно значимым для него. Методология научного поиска в математике является основной гуманитарной составляющей общего математического образования, так как ее усвоение и адекватные этому методы обучения способствуют интеллектуальному и духовному становлению личности, развитию ее творческого потенциала.

Таблица 3

Из вышесказанного естественно вытекает, что обучение математике будет развивающим, если оно строится на базе методологии научного поиска в математике, которая включает в себя: путь познания в математике; методы научного познания (общенаучные: эмпирические, гипотетико-дедуктивные, теоретические и частные); законы мышления; стиль математического мышления; ведущие идеи и принципы в математике. Это положение явилось для нас ведущим при проектировании технологий развивающего обучения.

Вместе с тем, пишут психологи [16], система научных знаний явля­ется не единственным компонентом структуры умственного развития. В последнюю входит и понятие обучаемости, связанное с качеством мышления. Н. А. Менчинская отмечает, что "только тогда, когда мы имеем дело с качествами ума, это являются не только самым прямым, но и самым надежным критерием" [28, с. 49]. Основными характеристиками интеллектуальных свойств личности, качеств ума психологи считают глубину ума, гибкость, устойчивость, осознанность, критичность, активность, самостоятельность. Чем выше обучаемость, тем быстрее и легче приобретает человек новые знания, свободнее оперирует ими в относительно новых условиях, тем выше темп его умственного развития. Качественные характеристики мышления являются вторым важным компонентом умственного развития.

Добавим к этому, что многие отечественные и зарубежные, психологи основной целью обучения считают развитие творческого мышления, которое ассоциируется с качественными характеристиками мышления.

В табл. 3 представлены основные структурные компоненты умственного развития школьников при обучении математике. Все они находятся в сложных связях и зависимостях. Роль методологических знаний в системе научных знаний нами уже раскрыта. В то же время методология научного поиска в математике, позволяющая включать школьников в самостоятельный поиск, развивает и его качества мышления.

Разрабатываемые во второй главе технологии обучения основным дидактическим единицам предусматривают включение школьника в активную математическую деятельность поискового характера, когда усвоение школьниками информационной компоненты содержания образования, освоение ими опыта творческой математической деятельности, развитие положительных качеств мышления происходит в комплексе, одновременно.

Вместе с тем в имеющихся в настоящее время программах по математике явно не отражен гуманитарный, методологический аспект математического содержания. Его вынужден выявлять сам учитель, проводя логико-математический анализ содержания материала учебника. Основные параметры такого анализа приведены в гл. 3 и проиллюстрированы примером по теме "Параллельные прямые".

ЛЕКЦИЯ №2. ТЕХНОЛОГИЯ ОРГАНИЗАЦИИ УСВОЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ (4 часа)

Описанные в данном разделе технологии предназначены главным образом для классно-урочной системы обучения в рамках, в основном, коллективной деятельности. Это объясняется, во-первых, тем, что пока ещё не найдена альтернативная ей модель обучения. Во-вторых, мы опираемся на теорию Л. С. Выготского о зоне ближайшего развития: "Всякая высшая психическая функция в развитии ребенка появляется на сцене дважды — сперва как деятельность коллективная, социальная, второй раз как деятельность индивидуальная, как внутренний способ мышления" [9, с. 387].

На первых порах, когда ученик еще не владеет на должном уровне средствами познания для самостоятельного поиска новых для него фактов и закономерностей, учитель сам ставит проблемы и организует коллективный поиск их решения. В этом случае школьники выполняют учебную деятельность совместно, в диалоге друг с другом или с учителем. Поскольку наибольшая нагрузка в овладении математическими средствами познания падает на V-VIII классы, то разрабатываемая технология наиболее характерна для работы с этими учащимися. По мере освоения опыта поисковой деятельности степень самостоятельности школьника будет увеличиваться.

Определения математических понятий

С точки зрения формальной логики понятие — это мысль, фиксирующая признаки отображаемых в ней предметов и явлений, позволяющих отличить эти предметы и явления от смежных с ними. Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций.

Основными характеристиками понятия являются его содержание и объем. Содержание понятия - это множество существенных (характеристических) свойств данного понятия, которые выделяют этот объект из множества других. Например, в содержание понятия "ромб"

входит то, что это:

• параллелограмм, в котором

• смежные стороны равны;

• диагонали перпендикулярны;

• диагонали делят его углы пополам;

• высоты равны;

• имеется вписанная окружность и т. д.

Однако, чтобы отличить одно понятие от другого, нет необходимости перечислять все его существенные свойства. Достаточно указать те из них, каждое из которых является необходимым, а все вместе - достаточными для того, чтобы выделить понятие из всех других. С этих по­зиций и строится определение понятия — предложение, раскрывающее содержание (смысл) этого понятия.

Определение математических понятий может быть дано различными способами. В научно-методической литературе нет единого подхода к классификации способов определения математических понятий. Однако можно заметить, что большинство из них являются частными случаями определения через род и видовые отличия. Логическая структура практически всех определений может иметь вид.

В = {х/х А и Р(х)},

где В — класс объектов, состоящих из x, принадлежащих А — ближайшему роду, и обладающих свойством Р — видовым отличием.

В свою очередь, можно указать различные способы задания видовых отличий Р:

а) перечислением некоторого набора свойств (биссектриса угла);

б) конструктивно, указанием способа построения (получения);

в) индуктивно (арифметическая, геометрическая прогрессии);

г) через отрицание.

Чтобы ученик мог оперировать определением понятия, важно, чтобы он осознал родоподчиненную связь между понятиями и их видовые отличия, а также логическую природу связи между видовыми отличиями, если их несколько: конъюнктивную, дизъюнктивную или смешанную.

Встречается аксиоматическое определение понятий, когда понятия выступают как первичные, а связи между ними описываются системой аксиом. Так вводятся:

а) основные неопределяемые понятия той или иной дисциплины; в геометрии это точка, прямая, принадлежать, лежать между (зависят от принятого подхода к построению курса);

б) понятия длины, площади, объема в курсе геометрии.

На ранней ступени изучения математики (начальная школа, V-VI классы) определения математическим понятиям часто не дают, а пользуются при этом описанием понятия (нестрогие определения) или указанием моделей определяемых понятий.

Множество объектов, которые обладают характеристическими свойствами понятия, называется объемом понятия. Краткое содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем — с помощью классификации.

Формирование понятий — сложный психологический процесс, длительный по времени. Он может выходить и за рамки школьного обучения. Однако в нем есть начальный этап, связанный с выявлением содержания понятия, конструированием его определения или описания. Этот этап Г. П. Сенников называет "образованием понятия в мышлении ученика" [29, с. 31]. Он носит кратковременный характер и ограничивается чаще всего одним-двумя уроками. Вместе с тем этот этап очень важен, так как в зависимости от того, на каком уровне усвоено содержание понятия, отраженное в определении, зависит успех в дальнейшей работе с ним.

Очень часто приходится наблюдать, что определение вводимого понятия дается ученикам в готовом виде. Даже авторы учебного пособия "Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики", подчеркивая необходимость формирования логического действия по раскрытию структуры определения математических объектов, ничего не говорят о том, как появляется на уроке определение понятия, какова деятельность учащихся на этапе образования понятия [20, с. 42].

На практике же вслед за определением дается в лучшем случае образец (алгоритм) его применения к решению задач, т.е. не уделяется внимание осознанию и осмыслению учащимися новой формулировки. Предполагается, что ее усвоение произойдет в результате заучивания, в процессе закрепления и применения определения понятия Упрощенная схема работы с понятием не является случайной в практике работы учителя, она отражает ведущую цель традиционного обучения — усвоение информационной компоненты содержания. Поэтому цель— овладение учащимися знаниями о действиях по "открытию" нового, по конструированию определения, а затем и овладение самими действиями — в традиционном обучении не ставится.

В педагогической психологии исследован и прошел экспериментальную проверку принципиально иной, генетический подход к формированию понятий (Д. Б. Эльконин, В. В. Давыдов). В рамках этого подхода понятие задается ученикам не в форме логического определения, а строится самими учащимися через систему выполняемых учебных действий. Тем самым осуществляется процесс становления понятия в сознании ученика. "Иметь понятие о каком-либо предмете, — пишет В. В. Давыдов, — значит владеть общими способами его построения, знанием его происхождения. Этот способ — особое мыслительное действие человека, которое само образуется как дериват предметного действия, воспроизводящего предмет своего познания" [13_, с. 321-322]. Характерной особенностью разрабатываемой в трудах "Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова концепции развивающего обучения, является то, что посредством организации собственных мыслительных действий учащихся достигается проникновение в фундаментальные отношения изучаемого предмета, открываются закономерности, всеобщие связи.

В соответствии со сказанным, важно проследить процесс (гносеологию) образования определения понятия. В довольно упрошенной форме, но, как нам представляется, важной для разработки соответствующей технологии, процесс образования понятия можно описать следующим образом. Рассматривается множество объектов, обладающих какими-либо важными общими признаками. Далее отбрасываются все частные, второстепенные признаки, которые принадлежат не всем объектам, и выделяются общие, которые принадлежат каждому объекту этого множества. Совокупность этих существенных признаков, характеризующих понятие, называется содержанием понятия и отражает сущность понятия. Однако, чтобы определить понятие, как было сказано, нет необходимости указывать все признаки, входящие в содержание понятия. Для этого достаточно выбрать те из них, каждое из которых является необходимым, а все вместе достаточными для характеристики данного понятия. Какой бы вид ни имела структура определения понятия (через род и видовое отличие, конструктивный), важным действием с точки зрения образования понятия является выделение его характерис­тических свойств и их фиксация в специально выбранной форме.

Методологический анализ генезиса понятий показывает, что в его основе лежат такие мыслительные операции, как анализ (расчленение, выявление отдельных свойств объекта), сравнение, синтез (объединение свойств, полученных при анализе, в единое целое), обобщение (мысленное выделение фиксированных свойств, принадлежащих данному классу объектов или отношений), абстрагирование (мысленное отвлечение общих существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от второстепенных, несущественных).

Таким образом, нужна такая технология организации усвоения математических понятий, которая давала бы возможность овладевать ученику следующими методологическими знаниями и умениями:

—знанием генезиса образования понятия,

—знанием логической структуры определения понятия,

—умениями осуществлять действия подведения под понятие и выведения следствий,

—умением проводить классификацию, систематизацию научных понятий, а также понимать необходимость доказательства существования понятия.

В соответствии с вышеизложенным, можно ставить диагностируемые цели по усвоению понятий на уровнях "знание", "понимание", "применение" (в стандартных ситуациях). Они отражены в табл. 4.

Для разработки технологии достижения этих целей важно учитывать и то, как происходит процесс усвоения. Педагогическая психология выделяет в этом процессе ряд последовательных этапов, прохождение каждого из которых является необходимым:

П одготовка Восприятие Осознание,

к восприятию

Осмысление Закрепление Применение

Содержание этих этапов раскрыто в табл.

В практике работы, как нам представляется, не уделяется должного внимания организации деятельности учащихся на каждом из приведен­ных этапов. Поскольку приемы деятельности учителя, на этапе подгото­вки к восприятию (актуализации знаний, мотивации, создания проблем­ных ситуаций) описаны в психолого-педагогической и методической литературе [11. 20. 21, 26], мы на этом не будем останавливаться.

Таблица 4

Категория учебных целей	Критерии достижения целей
	Цель считается достигнутой, если ученик:
Знание	-вставляет пропущенные слова в формулировке, -формулирует определение понятия, -среди предложенных выбирает формулировку определения
2.Понимание	-создает символическую, графическую модель понятия, -приводит или отбирает примеры и контрпримеры к понятию, подводит объект под понятие по словесной, графической или символической форме задания, подбирает достаточные условия для того, чтобы объект подходил под понятие, выводит следствия из условия принадлежности объекта к данному понятию, устанавливает связи данного понятия с другими, ранее изученными понятиями -перечисляет способы, приемы, методы познания на этапе открытия понятия
3.Применение (в стандартных ситуациях);	указывает, для решения каких задач можно использовать данное определение, составляет дидактические задачи на применение определе­ния, применяет определение в стандартных ситуациях, различает определение, свойства и признаки при обосновании хода решения задачи

Более подробно опишем второй и третий этапы этого технологического процесса.

Укажем некоторые приемы включения школьников в математическую деятельность по "открытию" и конструированию определений математических понятий.

Г. П. Сенников основным приемом образования понятий считает наглядно-конструктивный метод [29]. Суть его кратко может быть представлена следующим образом. Учитель предлагает .ученику сконструировать (в геометрии — построить) модель к известному (родовому) понятию, преобразовать ее в модель к вводимому понятию (учитель сам подсказывает ученикам эти преобразования, т. е. фактически сам выделяет видовые отличия), далее вводит термин и предлагает учащимся самостоятельно сформулировать определение понятия, на этапе осмыс­ления приводятся модели и контрмодели к понятию (выделяется умст­венное, логическое действия подведения под понятие).

Таблица 5

Технология организации усвоения определений объектов

Поясним эти рассуждения на примере введения понятия "компланарные векторы".

Учитель предлагает изобразить плоскость α и параллельные ей: а) прямую а; б) прямые а и b( не параллельные); в) прямые a, b и с, (непараллельные друг другу). Затем на прямых задаются соответственно векторы а , В и с и откладываются им равные в плоскости а (рис. 1, а, б, в). Учитель вводит термин и предлагает учащимся сформулировать определение компланарных векторов [29, с. 25].

Рис.1

Достоинство этого приема состоит в том, что ученики действительно сами формулируют определение понятия, но не сами выделяют его существенные признаки. Использование его на уроке не предполагает осознания учащимися действий по отбору видовых отличий.

Более высокий уровень мыслительной деятельности школьников связан с их самостоятельным выделением характеристических свойств понятия. Назовем его аналитико-синтетическим приемом. При этом можно ограничиться единичным объектом вводимого понятия, а можно вводить понятие вместе с его противоположностью.

В этом случае работа на этапах "Подготовка к восприятию" и "Восприятие" может быть следующей.

Используя изображение параллелепипеда (рис. 2), учитель повторяет понятия вектора, равных противоположных, коллинеарных векторов, критерий коллинеарности двух векторов, выражение вектора через два неколлинеарных вектора, если все три вектора принадлежат одной плоскости. Выясняется, как могут располагаться два, три вектора в пространстве? Далее дается следующая система вопросов-заданий:

• Сколько различных векторов задают ребра параллелепипеда?

• Опишите свойства пар (троек) векторов,

а) ; б) ; в) .

а) б) ; в)

(анализируется каждый случай отдельно).

• Выделите общие и различные свойства пар (троек) векторов (анализ, сравнение, синтез являются ведущими мыслительными операциями при этом).

• Выделите признаки, по которым все шесть случаев можно разбить на две группы (существует плоскость такая, что пары или тройки векторов, отложенные от любой ее точки, лежат в этой плоскости; не существует такой плоскости). В первом случае векторы называются компланарными. Попытайтесь сформулировать определение компланарных векторов и создать графическую модель к новому понятию (проводится обобщение и абстрагирование).

• Попробуйте спрогнозировать, какие вопросы мы должны изучать в дальнейшем.

Анализ второго приема наглядно иллюстрирует и методику обучения школьников мыслительным операциям. Обучение идет на конкретном примере с помощью специальных вопросов-заданий, отражающих ход (план) исследования. Неоднократное и целенаправленное использование этого приема позволит учащимся выделить и осознать выполненные действия по "открытию" характеристических свойств нового понятия.

Вместе с тем в приведенном примере мы формируем уже на этапе образования определения понятия такой важный мыслительный прием, как классификация. Здесь, как и во втором случае, знания о выполняе­мых действиях усваиваются учащимися через осознание собственных действий в процессе поиска оснований для классификации. Неоднократное и целенаправленное использование этого приема будет способствовать формированию идеи классификации как способа познания и может быть продиагностировано при изучении нового понятия или при решении специально подобранной задачи.

Укажем прием, в основе которого лежит аналогия. Например, понятия длины, площади были изучены в курсе планиметрии. Изучая в X классе понятие объема многогранников, учитель повторяет понятия длины отрезки и площади многоугольника. Далее замечает, что с понятием объема на интуитивном уровне школьники имели дело, начиная с пятого класса. Но теперь ставится задача изучить это понятие на более абстрактном уровне, отвлекаясь от конкретных моделей тел в виде куба, параллелепипеда и т. п. Проводя аналогию с понятием площади многоугольника, ученикам самостоятельно предлагается ответить на вопрос: "Что такое объем многогранника?" После этого учитель может предло­жить ученикам спрогнозировать, пользуясь аналогией, какие вопросы предстоит изучать в этой теме далее и как. Здесь предполагается, что аналогия как метод познания уже знаком учащимся, т. е. они знают об особенностях умозаключений, сделанных по аналогии, осознанно формулируют выводы об аналогичных свойствах нового объекта.

Еще пример. Операция вычитания (деления) на множестве натуральных чисел определяется как обратная сложению (умножению). Смысл ее остается тот же и на всех других изучаемых в школе числовых множествах. Поэтому, переходя к новым числовым множествам, следует побуждать школьников самим давать определения указанных операций, пользуясь аналогией

Иногда приём конкретизации позволяет школьникам самим дать определение понятия. Например, в курсе геометрии, VII класса дается общее определение равных фигур. Изучая далее равные отрезки, равные углы, равные треугольники, школьники могут дать самостоятельно определения этих понятий. Для этого необходимо соблюдать схему овладения учащимися действиями: информация о конкретизации как способе познания → осознанное ее применение в знакомой ситуации → формулировка определения нового понятия на основе конкретизации.

Наконец, там. где представляется возможность, важно показывать школьникам, как из множества существенных признаков, входящих в содержание понятия, выбирают те, которые входят в его определение. Заметим попутно, что вообще для целенаправленного формирования у школьников мыслительных операций важно умело подбирать соответствующее содержание. Сложность математического материала не должна быть при этом чрезмерно высокой.

Например, после того как изучен параллелограмм и прямоугольник, их свойства и признаки, работу по изучению ромба можно организовать следующим образом.

На доске изображены различные виды параллелограммов (рис. 3):

Учитель предлагает разбить их на виды по какими-либо признакам. Устанавливается, какие частные виды параллелограммов уже изучены, а какие нет.

• Выделим случаи в), г), д). Как вы думаете, что эти фигуры отлича­ет от произвольного параллелограмма и от прямоугольника?

• Выделите признаки, отличающие их от произвольного параллелограмма.

На глаз учащиеся могут обнаружить равенство всех сторон. Учитель побуждает учащихся "открыть" и другие отличительные признаки рассматриваемой фигуры (на глаз или измерением устанавливаются признаки, связанные с диагоналями). Далее учитель различным группам учащихся дает задания доказать следующие факты:

1. Если в параллелограмме все стороны равны, то его диагонали перпендикулярны. Сформулировать и доказать обратное утверждение.

2. Если в параллелограмме диагонали делят пополам его углы, то все стороны параллелограмма равны. Сформулировать и доказать обратное предложение

3. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то они делят его углы пополам. Сформулировать и доказать обратное предложение.

После этого идет коллективное обсуждение результатов работы каж­дой группы и делается вывод, что каждая группа нашла признак, по которому ромб можно отличить от параллелограмма. Каждый из них характеризует понятие ромба, но в определение ромба нет нужды включать их все. Достаточно включить в определение один из них. Тогда оставшиеся два будут следовать из определения (получаем теоремы — признаки и свойства ромба).

Естественно теперь предложить школьникам дать различные определения изученных ранее понятий параллелограмма и прямоугольника.

Такой подход делает акцент на получение суждений, установление их связей и не ограничивает понятие одним его определением, а формирует взгляд на определение как на совокупность существенных свойств, а также на то, что понятие может быть охарактеризовано различными такими совокупностями.

Уровень исследовательской деятельности школьников может быть усилен, если приступить к работе по анализу в начале изучения темы "Четырехугольники". В этом случае следует предложить ученикам сначала рассмотреть различные группы .выпуклых четырехугольников в зависимости от параллельности противоположных сторон, равенства противоположных сторон, углов. В результате обсуждения наметить программу изучения темы.

Рассмотренные примеры показывают наглядно, как методологиче­ские знания позволяют, с одной стороны, целенаправленно и совершенно естественно обучать школьников познавательным средствам, активи­зировать их мыслительную деятельность. В то же время методология, связанная с генезисом понятий, может помочь созданию различных вариантов-технологий, побуждая учителя к творческому поиску.

Важнейшим методологическим знанием о понятии является вопрос его существования. Требование доказательства существования объек­та формирует математический стиль мышления. В большинстве школьных учебников по математике этот вопрос явно не ставится. Но известный математик и методист Н. М. Бескин рекомендовал учителю все определения без исключения сопровождать доказательством существования определяемых объектов. К сожалению, в современных учебниках по методике математики этот вопрос чаще всего вообще не рассматривается. Естественным доказательством существования объекта в геометрии является его построение. В алгебре приводятся соответствующие примеры. Обращать внимание школьников на существование рассматриваемого объекта можно не затрачивая на это больших усилий.

Мы описали некоторые приемы, позволяющие включить школьников в самостоятельную аналитико-синтетическую деятельность по раскры­тию содержания математических понятий и по конструированию их определений (фактически, описали технологию работы учителя и ожидаемые действия учащихся на этапе "восприятие"). Не менее важна тщательная технологическая проработка этапа "осознание, осмысление информации по работе с определением"'.

В литературе, посвященной проблеме формирования понятий, выде­ляют следующие виды упражнений, отвечающих развивающим целям на этапе осознания и осмысления [20, 21, 37];

1. Конструирование упражнений на осознание логической структуры определения.

Здесь используется прием разбиения определения черточками на смысловые части или прием записи определения в "алгоритмической форме".

/ /Арифметическим квадратным арифметический — корнем из числа a// называется квадратный корень из числа а;

//неотрицательное число//, квад- l)b≥0

рат которого равен а//. 2) b² = а

Если определение содержит явно или неявно выраженные знаки существования или общности, то для выяснения смысла этих терминов и их роли в анализируемом определении составляют отрицание определения. Таким образом, получают условие непринадлежности объекта к данному понятию. Покажем это на примере определения четной функции:

( f четная на М) ( x М)(-х М)^(f (х) = f (-х)), тогда (f не является четной на М)  ( х М)(-х М) v(f (x) ≠ f (-х)).

Для выяснения и осознания каждого слова в этом определении по­лезны следующие упражнения.

• Является ли функция четной на множестве М, если:

а) для любого х М,-х М и f (х) = f (-х);

б) существует такое х М, что - х М, a f(x) ≠f(-x);

в) существует такое х М, что - х М, a f(x) = f(-x).

• Известно, что функция f является четной на множестве М. Что от сюда следует?

• Можно ли утверждать, что функция четна на М, если для любого х е М, f(x) = f(-x) ? Если нет, измените условие так, чтобы из него

следовала принадлежность функции к понятию четной функции [37, с. 60]

2. Конструирование упражнений на формирование умений подводить объект под понятие.

Здесь можно выделить два типа упражнений:

на узнавание объекта по вербальной (словесной) форме задания, в этих "ошибочных" определениях обычно заменяют родовое понятие, изменяют видовые отличия или логические связки между ними, пропускают существенные слова и т. п.;

• на узнавание объекта по невербальной (графической, символической) форме задания.

Для конструирования упражнений этих типов может составляться таблица истинности (для проверки выполнимости свойств объекта путем перебора возможных случаев).

Проиллюстрируем такой прием конструирования упражнений.

Определение: //Луч//, выходящий из вершины угла// и //делящий его на две равные части//, называется биссектрисой угла//.

Логическая структура определения понятия биссектрисы угла такова:

( Луч — биссектриса угла)  (1) Луч выходит из вершины угла.

(2) Луч делит угол пополам.

Таблица истинности

Свойства	Выполнимость
Луч выходит из верши­ны угла	+	+	-	-(не луч; не выходит из вершины)
Луч делит угол пополам	+	-	+	-(не луч; не делит угол пополам)

Составим упражнения на узнавание для четырех случаев выполнимости свойств.

К акое из следующих предложений На каком из рисунков является определением биссектрисы угла? изображена биссектриса угла? Ответ

1. Луч, выходящий из вершины

угла обоснуйте и делящий его пополам,

называется биссектрисой угла.

2)Если луч выходит из вершины угла, то его

называют биссектрисой этого угла.

3)Луч, делящий угол пополам, называется

биссектрисой угла.

4а) Линия, выходящая из вершины

угла и делящая его на две равные части,

называется биссектрисой угла.

46) Луч, выходящий из вершины

угла или делящий его пополам,

называется биссектрисой угла.

Названные типы упражнений на узнавание объекта позволяют формировать такое логическое действие, как "подведение под понятие", а также "подбор достаточных условий для того, чтобы объект подходил под понятие". В последнем случае к приводимым упражнениям добавля­ется требование о внесении изменений в условия.

Например: 2) Известно, что некоторый луч исходит из вершины угла. Можно ли этот луч назвать биссектрисой угла? Если нет, то какое усло­вие достаточно добавить, чтобы луч был биссектрисой угла?

4. Конструирование упражнений на овладение действием отыскания следствий на этапе "осознание, осмысление".

Например:

• Известно, что число b является арифметическим квадратным корнем из числа с .Что отсюда следует по определению? ( b≥0 и b ² = с). Можно продолжить эту цепочку и получить новое свойство, не отраженное в определении: с ≥ 0.

• Известно, что некоторая геометрическая фигура является биссектрисой угла АОВ. Назовите ее и перечислите свойства, которыми она обладает (луч; он выходит из точки О и делит угол АОВ пополам)

•Известно, что, ABCD — ромб. Назовите следствия, вытекающие из данного условия в силу определения ромба (например, ABCD— параллелограмм, диагонали АС и BD в точке пересечения делится пополам, смежные стороны равны и т. п.).

Упражнения названных видов позволяют формировать на Ш этапе действия по переводу формулировки определения с естественного языка на графический (символический) и обратно. Кроме названных упражнений, полезно предлагать учащимся задания на приведение примеров, подходящих под понятие, и так называемых контрпримеров. В упраж­нениях на узнавание объектов по готовым рисункам (по графическим и символическим моделям) ценным является задание на вычленение объ­ектов, принадлежащих данному понятию, на рассмотрение объектов с точки зрения других понятий. Посредством этих упражнений можно осуществить плавный переход на следующий этап в усвоении понятий — этап закрепления и применения.

Приведем пример такого типа упражнения.

• Выделите на рис. 5 смежные углы.

Это упражнение, по мнению Г. И. Саранцева [37, с. 65], ориентировано на формирование умения выделять смежные углы на сложных рисунках. При этом осуществляется и овладение такими действиями, как переосмысление элементов чертежа с точки зрения других понятий (например, отрезки ОА и ОС мыслятся как дополнительные лучи, а сторона ОВ треугольников АОВ и СОВ — как луч, являющийся общей стороной углов АОВ и ВОС и т. д.)"

Вопрос об отборе и конструировании упражнений, для этапа "закрепление и применение" требует особого разговора и выходит за рамки разработки технологии обучения учащихся открытию и конструированию определений

Наконец, важно давать задания на прогнозирование того, для решения каких задач может быть использовано введенное определение, предлагать самостоятельно составить такие задачи.

Основной недостаток описанной в этом разделе технологии состоит в том, что она требует большой затраты времени на уроке (как и в целом развивающее обучение). Поэтому учитель не может каждое понятие вводить таким образом. Эта технология важна на первом этапе по изучению новых видов определений понятий (в младших и средних классах). Когда же ученики осознают процесс образования понятия, накопят некоторый опыт самостоятельного конструирования их определений, овладеют интеллектуальными умениями, связанными с применением определений, то и сформулированное учителем определение они будут воспринимать уже осмысленно.

ЛЕКЦИЯ № 3. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ ТЕОРЕМ (3 часа)

Понятие о теореме с дидактических позиций

Теорема — математическое утверждение, истинность которого установлена путем доказательства [24, т. 5, с. 334]. Доказательство — рассуждение по определенным правилам, обосновывающее какое-либо предложение [23, т. 2, с. 372].

Логические аспекты, связанные с понятиями теоремы, доказательства, достаточно подробно освещены в математической и методической литературе [11, 20, 29, 37, 42],и мы на этом специально останавливаться не будем. Выделим лишь те методологические знания, познавательные средства, которые должны усваиваться школьниками в процессе изучения теорем:

1. Понятие теоремы.

2. Логическая структура формулировки теоремы:

1. условие, заключение, разъяснительная часть;

2. простая теорема;

3. сложная теорема.

Поскольку у школьников возникают трудности, как в понимании сложной теоремы, так и в формулировке теорем, обратных сложной теореме, то выделим логические аспекты, встречающиеся в сложных теоремах:

а) В теореме сложное условие (несколько условий), связанное союзом "и".

Пример. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к его основанию, является и медианой.

б) В теореме сложное условие, связанное союзом "или"

Пример, Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится дробь, равная данной.

в) Сложное заключение, связанное союзом "и"

Пример, В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

г) Сложное заключение, связанное союзом "или".

Пример. Если эти векторы ненулевые, ТО ABCD — параллелограмм или же точки А, В, С, D лежат на одной прямой.

Когда учащиеся встречаются впервые с тем или иным видом сложной теоремы, то со стороны учителя должно быть соответствующее разъяснение значения каждого союза. В случаях же б) и в) методически целесообразно теорему переформулировать, разделить ее на две независимые теоремы.

3. Виды теорем, прямая, обратная, противоположная, обратная противоположной. Равносильность первой и четвертой; второй и третьей.

4. Необходимое и достаточное условие (критерий).

5. Сущность доказательства: понятие доказательства; понятие силлогизма (правила вывода); законы доказательства (закон тождества, закон противоречия, закон исключения третьего).

6. Общелогические методы доказательств (указаны в п.-1.2.)

7.Частные методы, характерные для той или иной темы или нескольких тем: метод площадей? приемы дополнительных построений, общие способы решения уравнений.

8.Эвристические методы науки, приводящие к выдвижению гипотез, лежащие в основе поиска решения проблем.

Овладение указанным содержанием — длительный процесс, охватывающий все годы обучения в школе.

На основании вышеизложенного, можно ставить диагностируемые цели на уровнях "знание", "понимание", "применение" (табл. 6).