8. Формула полной вероятности и формула Байеса

Если событие может наступить только при появлении одного из несовместных событий (гипотез) , то вероятность события вычисляется по формуле полной вероятности: , где - вероятность гипотезы , - условная вероятность события при выполнении гипотезы ( .

Проиллюстрируем формулу полной вероятности на графе с выделенной вершиной:

Рис. 17

Полная вероятность события равна весу всего вероятностного графа с гипотезами.

С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Если до опыта вероятности гипотез были , , ..., , а в результате опыта появилось событие , то с учетом этого события "новые", т.е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса

Формула Байеса дает возможность "пересмотреть" вероятность гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта. Условная вероятность может находиться как отношение веса ветви, проходящей через вершину, соответствующую гипотезе , к весу всего вероятностного графа.

Пример 31. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая - 35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.

а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?

Решение. Пусть событие = {выбрать дефектный болт}.

Выдвигаем три гипотезы:

={болт изготовлен первой машиной}, =0,25, =0,05;

={болт изготовлен второй машиной}, =0,35, =0,04;

={болт изготовлен третьей машиной}, =0,4, =0,02.

Рис. 18

а)

б)

Пример 32. Студент подготовил к экзамену 20 билетов из 25. В каком случае шансы взять известный билет больше - когда студент пришел на экзамен первым или вторым?

Решение. Найдем вероятность взять известный билет, придя на экзамен вторым, учитывая, что первый может взять как известный, так и неизвестный второму билет.

Рис. 19

Пример 33. Наудачу выбираем колоду, а из нее карту. В каком случае вероятность достать туз больше: если выбирать карту из двух колод, содержащих по 32 и 52 карты, или выбирать карту из трех колод в 36 карт и одной в 52?

Решение. Пусть событие = { достать туз}.

Рис. 20

, следовательно, в первом случае вероятность достать туз меньше, чем во втором.

Пример 34. В каждой из трех урн содержится по одному белому и одному черному шару. Из первой урны во вторую переложили один шар, из второй пополненной урны в третью тоже переложили один шар, а затем из третьей урны наудачу извлекли один шар. Какова вероятность извлечь белый шар из третьей пополненной урны?

Решение.

Рис. 21

Какие гипотезы использовались в решении этой задачи?

Пример 35. Предположим, что 5 мужчин из 100 и 25 женщин из 10000 являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина?

Решение.

Рис. 22

9. Схема Бернулли состоит в следующем: производится последовательность испытаний, в каждом из которых вероятность наступления определенного события А одна и та же и равна р. Испытания предполагаются независимыми (т.е. считается, что вероятность появления события А в каждом из испытаний не зависит от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях). Наступление события А обычно называют успехом, а ненаступление - неудачей. Обозначим вероятность неудачи q=1-P(A)=(1-p). Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно m раз, выражается формулой Бернулли:

Вероятность Р_n(m) при данном n сначала увеличивается при увеличении m от 0 до некоторого значения m₀, а затем уменьшается при изменении m от m₀ до n. Поэтому m₀, называют наивероятнейшим числом наступлений успеха в опытах. Это число m₀, заключено между числами np-q и np+p (или, что то же самое, между числами n(p+1)-1 и n(p+1)) .Если число np-q - целое число, то наивероятнейших чисел два: np-q и np+p. Важное замечание. Если np-q< 0, то наивероятнейшее число выигрышей равно нулю.