§ 3. Лінійні перетворення евклідового простору.

1. Спряжене лінійне перетворення. Наголосимо, що всі факти, викладені в попередніх параграфах цього розділу, справджуються і для евклідового простору. Але в евклідовому просторі можна виділити певні, важливі надалі, класи лінійних перетворень.

Лінійне перетворення евклідового простору називається спряженим до лінійного перетворення цього простору, якщо для всіх векторів справджується рівність

. (25)

Вправа. Довести, що операція переходу від лінійного перетворення евклідового простору до спряженого перетворення має такі властивості:

а) ;

б) ;

в) ;

г) , ;

д) якщо невироджене, то .

Теорема. Якщо лінійне перетворення евклідового простору, задане матрицею в деякому базисі цього простору, має спряжене лінійне перетворення, то матриця спряженого перетворення в тому самому базисі визначається рівністю

, (26)

де – матриця Грама базису ; якщо базис ортонормований, то

. (27)

Доведення. Для довільних векторів позначимо , , де , , . Тоді

,

.

Оскільки

,

де – матриця Грама, то

.

Підставимо отримані значення скалярних добутків у рівність (25):

,

або

.

Оскільки – довільні рядки, то звідси

,

або, остаточно,

.

Якщо, зокрема, базис ортонормований, то і тому

.

З доведеної теореми випливає, що якщо спряжене перетворення існує, то воно єдине.

Теорема. Кожне лінійне перетворення евклідового простору має єдине спряжене перетворення.

Доведення. Виберемо який-небудь ортонормований базис евклідового простору і поряд з лінійним перетворенням з матрицею в цьому базисі розглянемо лінійне перетворення з матрицею в тому самому базисі. Тоді

,

і звідси

,

тобто

.

2. Самоспряжені лінійні перетворення. Лінійне перетворення евклідового простору називається самоспряженим, або симетричним, якщо воно збігається зі своїм спряженим перетворенням, , або, що те саме, , .

Вправа. Довести, що будь-яке лінійне перетворення одновимірного лінійного простору є самоспряженим.( , ).

Добуток двох самоспряжених лінійних перетворень не є, взагалі кажучи, самоспряженим перетворенням.

Теорема. Добуток двох самоспряжених лінійних перетворень є самоспряженим лінійним перетворенням тоді і лише тоді, коли перетворення , переставні, тобто .

Доведення. Нехай , і нехай , тобто –самоспряжене перетворення. Тоді . Звідси .

Навпаки, якщо , то , тобто – самоспряжене.

З рівності (27) випливає, що лінійне перетворення буде самоспряженим тоді і лише тоді, коли його матриця в будь-якому ортонормованому базисі симетрична, .

Теорема 1. Всі корені характеристичного рівняння матриці самоспряженого лінійного перетворення дійсні.

Доведення. Позначимо через матрицю самоспряженого перетворення в якому-небудь ортонормованому базисі. Припустимо, що характеристичне рівняння має комплексний корінь і розглянемо систему лінійних рівнянь

(28)

де . Матриця цієї системи комплексна, тому її розв’язки, взагалі кажучи, комплексні. Ненульові розв’язки існують, бо , і нехай – який-небудь ненульовий розв’язок. Підставимо в (28) і помножимо обидві частини отриманої тотожності зліва на ненульовий рядок :

. (29)

Покажемо, що – дійсне число. Будемо розглядати число як матрицю першого порядку. Тоді

. (30)

З другого боку,

.

Але – дійсна симетрична матриця, тобто , тому, за (30),

,

тобто ліва частина рівності (29) – дійсне число. Очевидно, що – також дійсне число, до того ж ненульове. Поділивши обидві частини рівності (29) на , дістаємо, що – дійсне число, що суперечить припущенню. Теорему доведено.

Теорема 2. Власні вектори самоспряженого лінійного перетворення, що відповідають різним власним значенням, ортогональні.

Доведення. Нехай для самоспряженого лінійного перетворення , і . Тоді , . Звідси, рівність рівносильна рівності , тобто . Оскільки , то . Теорему доведено.

Теорема 3. Якщо підпростір евклідового простору є інваріантним підпростором самоспряженого перетворення , то ортогональне доповнення цього підпростору також є інваріантним підпростором того самого перетворення.

Доведення. За умовою, . Тоді . Оскільки – самоспряжене, то . Звідси, попередня рівність набуває вигляду , що й означає, що . Теорему доведено.

Теорема 4 (про базис з власних векторів самоспряженого перетворення). В евклідовому просторі існує ортонормований базис, який складається з власних векторів самоспряженого перетворення цього простору.

Доведення. Доведемо теорему методом математичної індукції за числом вимірності простору.

Для одновимірного евклідового простору теорема очевидна, бо в такому просторі кожний вектор є власним вектором будь-якого лінійного перетворення цього простору.

Припустимо, що теорема справджується для - вимірних евклідових просторів і доведемо її для - вимірного евклідового простору . За теоремою 1 самоспряжене перетворення в просторі має принаймні одне дійсне власне значення , а отже, має принаймні один одновимірний інваріантний підпростір, який відповідає власному значенню . Позначимо цей підпростір через , а одиничний вектор в ньому – через . Ортогональне доповнення підпростору є - вимірним підпростором, який позначимо через . За теоремою 3, є інваріантним підпростором перетворення .

Розглянемо звуження перетворення на підпросторі . Легко побачити, що перетворення самоспряжене:

.

За припущенням індукції, в існує ортонормований базис з власних векторів перетворення . Позаяк кожний власний вектор перетворення є власним вектором перетворення , то вектори є власними векторами перетворення .

Система векторів ортогональна: вектори попарно ортогональні за припущенням індукції, а вектор ортогональний до кожного з них, оскільки , а . Звідси, система векторів утворює шуканий базис. Теорему доведено.

3. Ортогональні перетворення. Лінійне перетворення евклідового простору називається ортогональним, якщо воно зберігає скалярний добуток, тобто

(31)

Покладемо в рівності (31) . Тоді

,

тобто ортогональне перетворення зберігає довжини відрізків. Саме тому ортогональні перетворення часом називають ізометричними. Якщо позначити через кут між векторами , а через – кут між їх образами , то

,

тобто ортогональне перетворення зберігає кути між векторами.

Теорема. Кожне ортогональне перетворення має обернене перетворення , до того ж .

Доведення. Нехай – ортогональне перетворення евклідового простору . Згідно з теоремою п. 1 перетворення має спряжене . Тоді

.

Звідси,

,

або

,

тобто вектор ортогональний до будь-якого вектора простору, а це означає, що . Звідси, , або . Ця рівність справджується для всіх векторів простору, тому , або .

Наслідок. В ортонормованому базисі ортогональне перетворення має ортогональну матрицю. Справді, рівність рівносильна рівності , звідки .

Нагадаємо, що визначник ортогональної матриці дорівнює . Якщо визначник матриці ортогонального перетворення дорівнює , то таке перетворення називається власним, а якщо визначник дорівнює , то – невласним.

Легко показати, що добуток двох ортогональних перетворень є ортогональним перетворенням. Справді, якщо , , то . Тотожне перетворення є ортогональним перетворенням: . Таким чином, для сукупності ортогональних перетворень евклідового простору операція множення асоціативна, в ній існує одиничний елемент (тотожне перетворення) і кожне ортогональне перетворення має обернене. Отже, сукупність всіх ортогональних перетворень евклідового – вимірного простору утворює групу відносно операції множення і ця група позначається . Легко побачити, що сукупність всіх власних ортогональних перетворень також є групою. Група власних ортогональних перетворень позначається і є підгрупою групи . У випадку унітарного простору сукупність лінійних перетворень, які зберігають скалярний добуток, утворює унітарну групу . Підмножина унітарних перетворень, для матриць яких додатково виконується умова , сама утворює групу, яка називається спеціальною унітарною групою і позначається .

Теорема. При ортогональному перетворенні евклідового простору образи векторів будь-якого ортонормованого базису самі утворюють ортонормований базис; навпаки, якщо лінійне перетворення евклідового простору відображує хоча б один ортонормований базис в ортонормований базис, то це перетворення ортогональне.

Доведення. Нехай – ортогональне перетворення евклідового простору , а – який-небудь ортонормований базис цього простору. Тоді

,

тобто система векторів є ортонормованою, тому утворює ортонормований базис простору .

Навпаки, нехай лінійне перетворення простору відображує ортонормований базис в ортонормований базис і нехай – довільні вектори простору , , . Тоді , . Оскільки обидва базиси та ортонормовані, то

,

тобто лінійне перетворення зберігає скалярний добуток. Теорему доведено.

Нагадаємо, що визначник ортогональної матриці дорівнює . Якщо визначник матриці ортогонального перетворення дорівнює , то таке перетворення називається власним, а якщо визначник дорівнює , то – невласним.

Приклад 1. Нехай вектор породжує одновимірний простір, в якому визначено ортогональне перетворення . Очевидно, що . Звідси, . З другого боку, – ортогональне перетворення, тому . Порівнюючи праві частини обох рівностей, отримуємо, що . Таким чином, в одновимірному просторі є лише два ортогональних перетворення : та . Перше перетворення одиничне і є власним перетворенням, друге – дзеркальне відображення відносно початку координат і є невласним перетворенням.

Приклад 2. Нехай – ортонормований базис двовимірного простору і нехай ортогональне перетворення цього простору визначається в цьому базисі матрицею

.

Нехай – власне перетворення. Тоді . Очевидно,

.

З умови ортогональності перетворення маємо , або, в розгорненому вигляді,

.

Звідси , , тому

,

причому . Поклавши , , дістаємо, що будь-яке власне ортогональне перетворення двовимірного простору в ортонормованому базисі має матрицю

.

В розділі 4 було показано, що лінійне перетворення з такою матрицею здійснює поворот площини на кут .

Нехай тепер – невласне ортогональне перетворення, . Знайдемо власні вектори перетворення . Характеристичне рівняння

має дійсні корені ( ), тому перетворення має власний вектор , . Ортогональне перетворення не змінює довжин, тому . Але ортогональне перетворення не змінює і кутів між векторами, тому вектор , ортогональний до вектора , переходить у вектор, ортогональний до вектора , тобто у вектор . Звідси, в базисі матриця перетворення має вигляд

.

Оскільки , то невласне ортогональне перетворення в двовимірному просторі має своєю матрицею одну з таких двох матриць

.

Очевидно, що перша матриця визначає дзеркальне відображення площини відносно осі вектора , а друга – відносно осі вектора .