§2. Власні значення і власні вектори лінійного перетворення.

1. Інваріантні підпростори. Лінійний підпростір простору називається інваріантним підпростором лінійного перетворення , якщо для кожного вектора , тобто .

Приклади.

1) Розглянемо поворот тривимірного евклідового простору на кут навколо якої-небудь осі, що проходить через початок координат. Таке перетворення має два інваріантних підпростори – вісь обертання (одновимірний інваріантний підпростір) та площину, яка проходить через початок координат перпендикулярно до осі обертання (двовимірний інваріантний підпростір).

2) Нехай для будь-якого вектора – вимірного лінійного простору , тобто лінійне перетворення здійснює розтяг в разів вздовж вектора , . Прямі з напрямними векторами відповідно є одновимірними інваріантними підпросторами перетворення .

3) Нехай лінійне перетворення – вимірного лінійного простору в деякому базисі має квазітрикутну матрицю

Тоді лінійна оболонка є інваріантним підпростором перетворення . В цьому легко переконатися за рівністю . Якщо, крім того, , , тобто матриця лінійного перетворення має вигляд

то підпростір також буде інваріантним.

4) Образ та ядро довільного лінійного перетворення – вимірного лінійного простору є інваріантними підпросторами цього перетворення. Справді, якщо , то за означенням образу лінійного перетворення; якщо ж , то .

Нехай лінійне перетворення лінійного простору має інваріантний підпростір , тобто . Звідси випливає, що в підпросторі визначено лінійне перетворення , яке визначається рівністю і яке називається звуженням перетворення . Поза підпростором перетворення не визначене.

2. Власні значення і власні вектори. Нехай – лінійне перетворення лінійного простору .

Ненульовий вектор лінійного простору , для якого справджується рівність

, (17)

називається власним вектором лінійного перетворення , а число – власним значенням цього перетворення. При цьому кажуть, що власний вектор відповідає власному значенню .

Зрозуміло, що у випадку комплексного лінійного простору власні значення є, взагалі кажучи, комплексними числами; якщо ж лінійний простір дійсний, то власними значеннями можуть бути лише дійсні числа.

Зазначимо, що власний вектор , який відповідає власному значенню , визначає одновимірний інваріантний підпростір лінійного перетворення . Справді, для будь-якого числа вектор також є власним вектором, що відповідає тому самому власному значенню :

.

Вправа. Довести, що кожний вектор одновимірного лінійного простору є власним вектором будь-якого лінійного перетворення цього простору. ( , ).

Знайдемо власні значення і власні вектори лінійного перетворення . Для цього виберемо який-небудь базис лінійного простору і позначимо через власний вектор цього перетворення, що відповідає власному значенню . Вектор розкладемо за векторами базису , , . На підставі (7),

,

де – матриця лінійного перетворення в базисі . Звідси, на підставі (17),

.

Звідси

.

Лінійна комбінація векторів базису дорівнює нулеві лише при нульових значеннях коефіцієнтів цієї лінійної комбінації, тому

.

Транспонуючи обидві частини останньої рівності, дістаємо

,

або, що те саме,

.

Остаточно,

. (18)

Запишемо систему (18) в розгорненому вигляді:

Розв’язавши систему , знайдемо координати власного вектора в базисі . Оскільки за означенням власного вектора, то нас влаштовують лише ненульові розв’язки цієї системи, а система , як однорідна система, має ненульові розв’язки лише при умові, що визначник цієї системи дорівнює нулеві:

. (19)

З рівності (19), яка називається характеристичним рівнянням, знаходимо власні значення перетворення . Ліва частина характеристичного рівняння (19) є многочленом – го степеня відносно , який називається характеристичним многочленом матриці .

Приклад. Знайти власні значення і відповідні їм власні вектори лінійного перетворення, заданого матрицею в деякому базисі, якщо

.

Розв’язування. Складаємо характеристичне рівняння:

.

Обчисливши визначник, наприклад, за правилом трикутників, отримаємо

,

звідки знаходимо власні значення та .

Знайдемо власні вектори, що відповідають власному значенню . Для цього підставимо значення в систему :

.

Легко переконатися, що ранг матриці системи дорівнює двом, а максимальну лінійно незалежну підсистему утворюють, наприклад, перші два рівняння

.

Загальний розв’язок останньої системи має вигляд . Таким чином, власному значенню відповідають власні вектори .

Підставимо тепер в систему власне значення і знайдемо відповідні йому власні вектори:

.

Максимальну лінійно незалежну підсистему утворюють, наприклад, два останні рівняння

загальний розв’язок якої має вигляд , так що власному значенню відповідають власні вектори .

3. Властивості власних векторів. Сформулюємо та доведемо деякі властивості власних векторів.

Теорема 1. Сукупність власних векторів, що відповідають одному й тому самому власному значенню, доповнена нульовим вектором, утворює лінійний підпростір.

Доведення. Нехай – деяке власне значення лінійного перетворення. Тоді, при кожний ненульовий розв’язок системи є власним вектором, що відповідає власному значенню . Сукупність всіх розв’язків системи при утворює, як відомо, лінійний підпростір. Теорему доведено.

Теорема 2. Якщо власні вектори відповідають різним власним значенням , , , то вони лінійно незалежні.

Доведення. Припустимо супротивне і нехай існує нетривіальна нульова лінійна комбінація цих векторів

. (20)

Нехай . Подіємо лінійним перетворенням на обидві частини рівності (20):

. (21)

Помножимо обидві частини рівності (20) на і результат віднімемо від рівності (21):

. (22)

Знову подіємо перетворенням на обидві частини рівності (22):

. (23)

Помножимо (22) на і результат віднімемо від (23):

.

Продовжуючи таким способом на кожному кроці зменшувати лінійну комбінацію на один доданок, прийдемо врешті-решт до рівності

.

Оскільки всі різні і , то , що суперечить тому, що – власний вектор. Теорему доведено.

Теорема 3. Якщо та – матриці лінійного перетворення в різних базисах, то характеристичні многочлени цих матриць збігаються.

Доведення. Згідно з рівністю (10), . Звідси,

Таким чином, характеристичний многочлен матриці можна називати характеристичним многочленом лінійного перетворення, що визначається даною матрицею в деякому базисі.

Теорема 4. – кратному власному значенню лінійного перетворення відповідає не більше, ніж лінійно незалежних власних векторів.

Доведення. Нехай – кратне власне значення лінійного перетворення і нехай йому відповідає лінійно незалежних власних векторів , , . Доповнимо систему векторів векторами до базису лінійного простору. Знайдемо матрицю лінійного перетворення в цьому базисі. З одного боку, , . З другого боку, , . Звідси, при і при . Отже, матриця має вигляд:

,

де – деяка -матриця.

Складемо характеристичний многочлен і розкладемо цей визначник послідовно за елементами кожного з перших стовпчиків:

.

За означенням кратного кореня многочлена, . Теорему доведено.

Теорема 5. Лінійне перетворення має власним значенням число нуль тоді і лише тоді, коли його матриця вироджена.

Доведення. Зазначимо насамперед, що значення будь-якого многочлена в точці дорівнює вільному члену . Звідси, число нуль є коренем многочлена тоді і лише тоді, коли . Зокрема, вільний член характеристичного многочлена збігається з :

,

тому число нуль є коренем характеристичного рівняння тоді і лише тоді, коли . Теорему доведено.

Наслідок. Будь-який ненульовий вектор ядра лінійного перетворення є власним вектором цього перетворення, що відповідає власному значенню . Справді, якщо , то .

4. Діагональний вигляд матриці лінійного перетворення. Значення поняття власного вектора полягає в тому, що матриця лінійного перетворення в базисі, який складається з власних векторів, має найпростіший вигляд.

Теорема 6. Матриця лінійного перетворення в базисі має діагональний вигляд тоді і лише тоді, коли кожний вектор базису є власним вектором лінійного перетворення .

Доведення. Нехай вектори базису є власними векторами лінійного перетворення , що відповідають власним значенням відповідно. Тоді

,

звідки , при , , тобто матриця має діагональний вигляд.

Навпаки, якщо матриця має діагональний вигляд у базисі ,

,

то вектори базису - власні вектори лінійного перетворення :

Теорему доведено.

Наслідок. Якщо лінійне перетворення дійсного лінійного простору має різних власних значень, то існує базис з власних векторів цього перетворення, в якому матриця лінійного перетворення має діагональний вигляд.

5. Одновимірні та двовимірні інваріантні підпростори лінійного перетворення дійсного лінійного простору. Нагадаємо ще раз, що всі отримані в попередніх параграфах цього розділу результати справджуються як для комплексного, так і для дійсного лінійного простору.

Легко показати, що будь-яке лінійне перетворення комплексного лінійного простору має принаймні один власний вектор (одновимірний інваріантний підпростір). Справді, за основною теоремою алгебри, характеристичний многочлен має принаймні один комплексний корінь . Тоді однорідна система при має ненульові розв’язки, кожен з яких є власним вектором лінійного перетворення і кожен з яких породжує одновимірний інваріантний підпростір. Так само легко зрозуміти, що для дійсного лінійного простору це не завжди так. Втім, у випадку дійсного лінійного простору справджується наступна теорема.

Теорема. Кожне лінійне перетворення дійсного лінійного простору має одновимірний або двовимірний інваріантний підпростір.

Доведення. Нехай лінійне перетворення дійсного лінійного простору має матрицю в базисі цього простору. Нехай – корінь характеристичного многочлена . Знайдемо розв’язки системи

(24)

де .

Якщо – дійсне число, тобто є власним значенням лінійного перетворення , то з системи (24) можна знайти власний вектор , , який породжує одновимірний інваріантний підпростір .

Розглянемо тепер випадок, коли – комплексне число, . В такому разі не є власним значенням лінійного перетворення . Підставимо формально в систему (24) і знайдемо який-небудь її ненульовий комплекснозначний розв’язок . Позначимо , , . Тоді . Підставивши цей розв’язок в (24), отримаємо

або

.

Розкриємо дужки і відокремимо дійсну та уявну частини:

.

Прирівняємо до нуля дійсну та уявну частини:

, .

Звідси,

, .

Будемо розглядати стовпчик як стовпчик координат деякого вектора в базисі , а - як стовпчик координат вектора . Тоді останні дві рівності можна переписати так:

, .

Таким чином, , , а це означає, що двовимірна лінійна оболонка є інваріантним підпростором лінійного перетворення .