7. Многомерные случайные величины и их распределения. Многомерные статистические гипотезы. Примеры.

1) Понятие многомерной случайной величины (мсв)

М ногомерная СВ Х выглядит следующим образом (смотри рисунок)

Все зависят от времени (т.к. мы не можем ручаться, что характеристики не изменятся со временем). Т.о., массив не является м-цей. В МСМ он наз-ся параллелепипедом данных.

Гипотетической СВ является вектор . Этот вектор необязательно будет состоять из числовых характеристик.

МСВ, а именно та СВ, кот. поддается измерению, обладает определен. физич. смыслом и некоторым неконтролируемым разбросом при повторениях исследуем. эксперим-та. Получить числовое отображение МСВ можно только в резул-те элементар. исхода () случ. экспер-та.

Многомерная (векторная) СВ:

Закон распределения вероятностей многомерной статистической величины (МСВ) называется многомерным или совместным:

Функция распределения детерминирована и неотрицательна.

1) непрерывные m-мерные СВ, компоненты которых являются непрерывными СВ

Плотность распределения вероятности:

Соотношение функции и плотности распределения:

В обратную сторону – m-кратный дифференциал:

2) дискретные m-мерные СВ, компоненты которых (одномерные СВ) являются дискретными

ДМСВ может быть задана указанием вероятностей ее попадания в люб. точку конеч. или счет. мн-ва допустимых значений. Если мы обозначим через - j-е значение СВ из мн-ва допустимых значений

i₁ = 1,2,…,n; i₂ = 1,2,…,n; … ; i_m = 1,2,…,n;

Совместная вероятность:

Тогда ф-ция распред-я такой СВ выражается m-кратной суммой:

На всем множестве допустимых значений эта m-кратная сумма превращается в ед-цу:

3) СВ смешанного типа, компоненты которых являются как непрерывными, так и дискретными СВ.

2) Примеры наиболее часто используемых законов:

- Полиномиальный (мультиномиальный) закон распределения

В рез-те одного случайного эксперимента объект типа j появляется с вероятностью P_j. - число объектов j-го типа, оказавшихся в выборке размера n с вер-тью P. Всего будет l различ. типов: . Мы имеем дело с бесконеч. совокуп-тью . Вероятность - это векторная величина:

Нас будет интересовать МСВ с законом распределения:

Вероятность того, что из n извлеченных объектов оказалось x₁ объектов 1го типа, x₂ объектов 2го типа и т.д. может быть выражена следующим образом:

Для данного закона:

, - многомерная вероятность,

(это диагональ ковариационно-дисперсионной матрицы)

- внедиагональные элементы

Чаще всего с этим ЗР сталкиваются при обработке анкет. данных (медицинской и психологич. инф-ции)

- Гаусовский закон распределения (многомер/ нормальный) X  F(,)- наиболее часто встречающееся:

, где - многомерное МО; - ковариац.-дисперс. м-ца

Исчерпывающей формой задания многомер. ЗР является только совместная функция плотности вероятности. Зная совместный ЗР МСВ можно получить частный (маржинальный) ЗР любого подвектора случайной величины, а также условный ЗР, описывающий распределение любого подвектора, когда все или какая-то часть остальных компонент исход. вектор. признака фиксируется на заданных уровнях. Если МСВ распределена каким-либо другим способом, то пользуются правилом независимости, а именно: если компоненты МСВ статистически независимы, то многомерный ЗР может быть описан m-частными законами распределения:

При практическом изучении поведения МСВ зачастую оказывается достаточным знание ограниченного набора его числовых характеристик: m - МО; - дисперсия; коэф-нт ассиметрии; коэф-нт эксцесса

Математическое ожидание:

- для непрерывной СВ:

- для дискретной СВ:

МО - центр группирования. Распространим это понятие на случай МСВ: x = (x⁽¹),…,x^(m))

Существует 2 случая (интерпретации):

1),  = (⁽¹),…,^(m)), ^(j) - обобщение по n объектов

2),  = (₁,…,_m), _j - обобщение по некоторому совокупному свойству (признаку) n объектов

Математический аппарат идентичен для обоих случаев. Поэтому остановимся на 1ом случае.

Дисперсия: Физический смысл дисперсии - разброс (рассеяние) относительно центра группирования.

- непрерывная одномерная СВ:

- дискретная одномерная СВ:

Аналог многомерной дисперсии берется из ковариационно-дисперсионной матрицы:

1)

Это симметричная относительно главной диагонали матрица.

Диагональ - рассеивание относительно конкретной компоненты.

2) во втором случае центром группирования является компоненты вектора МО по совокупному интегрированному свойству:  = ( )_nn

В качестве многомерной дисперсии может быть:

А) обобщенная дисперсия - определитель D_обоб = det

Б) степень рассеивания - след матрицы D_рас = tr = (₁₁ + … + _mm)

Специфика многомерной дисперсии заключается в расчете каждой компоненты _ij