17. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверка гипотезы о его значимости.

В случае отсутствия связных рангов:

Инверсия: - минимальное число перестановок соседних элементов последовательности r^k, необходимое, чтобы привести ее к последовательности r^j.

При совпадающих ранжировках

При полностью противоположных ранжировках:

Для связных рангов:

Для проверки нулевой гипотезы Н₀:  = 0 (генеральный коэффициент ранговой корреляции Кендалла равен нулю) при альтернативной гипотезе Н₁:   0 необходимо найти критическую точку:

(по таблицам функции Лапласа)

Следовательно, нулевая гипотеза принимается (ранговая корреляционная связь между признаками незначима).

Также можно проверить с помощью коэффициента Стьюдента (при n > 7) также как для коэффициента Спирмена:

18. Критерий независимости для таблиц сопряженности.

Если таблица 2×2, то имеем биномиальный закон распределения.

Этот критерий очень важен, т.к. экономисты очень часто работают с таблицами частот и таблицами сопряженности.

Рассмотрим пример о заболеваемости (грипп)

	Не заболели (y)	Заболели ( )	Всего
Привитые (x)	72	28	100
Непривитые ( )	31	69	100
Всего	103	97	200

P(y,x) ≠ P(y)P(x), следовательно, H₀: x и y - независимы

Статистическая гипотеза (словесное описание):

Прививка (вакцинация) не оказывает влияние на y, а полученный результат (по вероятностям) – это случайная флуктуация.

А) случайно выбранный представитель из группы привитых людей будет инфицирован

Б) случайно выбранный представитель из группы людей без прививки будет инфицирован

Таблица ожидаемых частот:

	Не заболели (y)	Заболели ( )	Всего
Привитые (x)	1-p	p	100
Непривитые ( )	1-p	p	100
Всего	103	97	200

	Не заболели (y)	Заболели ( )	Всего
Привитые (x)	51,5	48,5(=(97/200)*100)	100
Непривитые ( )	51,5	48,5	100
Всего	103	97	200

	y
Наблюдаемые частоты Ожидаемые частоты Разность	72 51,5 20,5	28 48,5 -20,5
Наблюдаемые частоты Ожидаемые частоты Разность	31 51,5 -20,5	69 48,5 20,5

Расчетная статистика (хи-квадрат):

- наблюдаемые частоты

- ожидаемые частоты (теоретические)

Если ожидаемые и наблюдаемые частоты совпадут, мы везде в расчетной статистике получим ноль, а вероятность была бы равна единицы.

Число степеней свободы: υ – 1 – 2 (2 – кол-во признаков (прививка и не заболеть))

U

(пишем в формуле Х, т.к. мы точно не знаем, что это ²) – нормально распределенная величина

Изначально вероятность делится на 2, т.к. берем только правый хвост распределения (оно симметрично). Впоследствии, избавляясь от модуля, мы снова возвращаемся к целому распределению и перестаем делить на 2.

На самом деле мы проверяли совпадение распределения наблюдаемых частот и ожидаемых частот.

Если ожидаемые и наблюдаемые частоты совпадут, мы везде в расчетной статистике получим ноль, а вероятность была бы равна единицы.

H₀:

В данном случае мы отвергаем гипотезу о равенстве распределений. Тем самым мы доказали, что x и y зависимы.