Сложение в восьмеричной системе

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

Сложение в шестнадцатеричной системе

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	C	D	Е	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	А	В	С	D	Е	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

16. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в системе счисления:

а) троичной; б) пятеричной.

Пример таблицы умножения в шестнадцатеричной системе счисления:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F
2	2	4	6	8	А	С	Е	10	12	14	16	18	1А	1С	1Е
3	3	6	9	С	F	12	15	18	1В	1Е	21	24	27	2А	2D
4	4	8	С	10	14	18	1С	20	24	28	2С	30	34	38	3С
5	5	A	F	14	19	1Е	23	28	2D	32	37	3С	41	46	4В
6	6	С	12	18	1Е	24	2A	30	36	3С	42	48	4Е	54	5A
7	7	Е	15	1С	23	2А	31	38	3F	46	4D	54	5В	62	69
8	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	9	12	1В	24	2D	36	3F	48	51	5А	63	6С	75	7Е	87
А	А	14	1Е	28	32	3С	46	50	5А	64	6Е	78	82	8С	96
В	В	16	21	2С	37	42	4D	58	63	6Е	79	84	8F	9A	А5
С	С	18	24	30	3С	48	54	60	6С	78	84	90	9С	A8	В4
D	D	1A	27	34	41	4Е	5В	68	75	82	8F	9С	А9	В6	С3
Е	Е	1С	2А	38	46	54	62	70	7Е	8С	9A	А8	В6	С4	D2
F	F	1E	2D	3C	4В	5А	69	78	87	96	А5	В4	С3	D2	Е1

17. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:

а) 1011101₂ и 1110111₂; д) 37₈ и 75₈; и) А₁₆ и F₁₆;

б) 1011,101₂; и 101,011₂; е) 165₈ и 37₈; к) 19₁₆ и С₁₆; (8 - 134, 224, 24.3, 34)

в) 1011₂ , 11₂ и 111,1₂; ж) 7,5₈ и 14,6₈ ; л) А,В₁₆ и Е,F₁₆; (16 - 19,25,19.А, 26)

г) 1011₂, 11,1₂ и 111₂; з) 6_8, 17₈ и 7₈ ; м) Е_16, 9₁₆ и F₁₆.

18. В какой системе счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:

а ) 9 8 б) 1 3 4 5 в) 10101 г) 7 6 5 д) 9 8

8 9 2 1 7 8 + 1111 + 5 7 6 + 5 6

1 2 1 3 5 2 3 1011 6 7 7 7 9

20000 2 4 6 2 1 6 7 (16, 10, 3,8, 16)

19. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разны­ми буквами);

а) А В С D Решение. В=1, С равно 2 или 3 (С=В+В+перенос),

А В С D но С - четная цифра, следовательно,

В D С Е С С=2. Тогда D=6, А=8, Е=5.

б) А Решение. По последнему столбику А+С=10, -I-

А В по первому столбику А+1=В,

А В С по второму столбику А+В+1=10+С.

В С В Отсюда имеем А=6, В=7 и С=4.

АВС…

в) А В С D А г) А В С D д) А В С О (в - 9,4,5,3,1,0.7,8)

F L С D А Е F B С А А В С Е F (г - 3,6,2,5,9,7,1,0,4,8)

F L С L M N G Н G С I J E G D Н I G (д - 9,3,4,2,1,8.0,7,6)

20. Вычтите:

а) 111₂ из 10100₂ ; д) 15₈ из 20₈ ; и) 1А₁₆ из 31₁₆

б) 10,11₂ из 100,1₂; е) 47₈ из 102₈; к) F9Е₁₆ из 2А30_{16 (1101, 1.11, 1010.1, -10.01)}

в) 111,1₂ из 10010₂; ж) 56,7₈ из 101₈; л) D,1₁₆ из В,92_{16 (3, 33, 22.1, 11.25,)}

г) 10001₂ из 1110,11₂; з) 16,54₈ из 30,01₈; м) АВС₁₆ из 5678_{16 (17, 1A92, -1.7E, 4DDC)}

21. Перемножьте числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные умножения:

а) 101101₂ и 101₂; д) 37₈ и 4₈

б) 111101₂ и 11,01₂; е) 16₈ и 7₈ ;

в) 1011,112 и 101,1₂; ж) 7,5₈ и 1,6₈;

г) 101₂ и 1111,001₂; з) 6,25₈ и 7,12₈. (11100001; 11000110,01;1000000,101; 1001011,102; 147; 142; 15,26; 55,2222)

22. Разделите 10010110₂ на 1010₂ и проверьте результат, умножая делитель на частное.

(1111₂)

23. Разделите 10011010100₂ на 1100₂ и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление. (1100111_{2, 103}10, 147₈₎

24. Вычислите значение выражения:

а) 256₈+10110,1₂ • (60₈ + 12₁₀) - 1F₁₆;

б) 1АD₁₆ - 100101100₂: 1010₂ + 217₈;

в) 1010₁₀+(106₁₆-11011101₂) -12₈;

г) 1011₂ • 1100₂: 14₈ + (100000₂ - 40₈). (1493, 542, 1420, 11)

25. Расположите следующие числа в порядке возрастания:

а) 74₈, 110010₂, 70₁₀, 38₁₆; в) 777₈, 101111111₂, 2FF₁₆, 500₁₀;

б) 6Е₁₆, 142_8, 1101001₂, 100₁₀; г) 100₁₀, 1100000₂, 60₁₆, 141₈. (а - 1100101,38, 74,70; б - 142, 100, 1101001,6Е; в - 101111111,500, 777, 2FF; г - 1100000,60,141,100)

26. Запишите уменьшающийся ряд чисел +3, +2, ..., —3 в однобайтовом формате:

а) в прямом коде; б) в обратном коде; в) в дополнительном коде.

27. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт):

а) 31; 6) -63; в) 65; г) -128. (00001111, 10111111, 01000001, невозможно)

28. Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт):

a) -9; б) -15; в) -127; г) -128. (11110110, 11110000,10000000, невозможно;

11110111,11110001, 10000001, 10000000)

29. Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:

а) 1 1111000; б) 1 0011011; в) 1 1101001; г) 1 0000000. (-8,-101,-23,-128)

30. Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:

а) 1 1101000; б) 1 0011111; в) 1 0101011; г) 1 0000000. (-23,-96,-84,-127)

31. Выполните вычитания чисел путем сложения их обратных (дополнитель­ных) кодов в формате 1 байт. Укажите, в каких случаях имеет место пе­реполнение разрядной сетки:

а) 9 - 2; г) -20 - 10; ж) -120 - 15;

б) 2 - 9; д) 50 - 25; з) -126 - 1;

в) -5 - 7; е) 127 - 1; и) -127 - 1.

Задания для самостоятельной работы:

Двоичная система счисления:

48(10)=110000(2); 223(10)=11011111(2); 405(10)=110010101(2); 220(10)=11011100(2); 20,5(10)=10100,1(2); 39,125(10)=100111,001(2); 78,25(10)=1001110,01(2).

1010101(2)=85(10); 1111111(2)=127(10); 1011101(2)=93(10); 1000001(2)=65(10); 0,111(2)=0,875(10); 0,1011(2)=0,6875(10); 1110,10101(2)=14,65625(10).

Восьмеричная система счисления:

452(10)=704(8); 42(10)=52(8); 777(10)=1411(8); 353(10)=541(8); 87,25(10)=127,2(8); 30,125(10)=36,1(8); 71,625(10)=107,5(8).

755(8)=493(10); 111(8)=73(10); 1000(8)=512(10); 123(8)=83(10); 455,3(8)=301,375(10); 441,4(8)=289,5(10); 12,7(8)=10,875(10).

Шестнадцатеричная система счисления:

100(10)=64(16); 788(10)=314(16); 972(10)=3CC(16); 9891(10)=26A3(16); 71,25(10)=47,4(16); 210,625(10)=D2,A(16); 77,3125(10)=4D,5(16).

ABC(16)=2748(10); 8A(16)=138(10); 1000(16)=4096(10); FA(16)=250(10); AA,8(16)=170,5(10); 91,48(16)=145,28125(10); ABBA,2(16)=43962,125(10).

Арифметические операции над числами в двоичной системе счисления

10111 + 1111 = 100110; 1000011 – 111001 = 1010; 111  111 = 110001; 101  1001 = 101101; 1011  1101 = 10001111; 1010111  11101 = 11; 10011011  11111 = 101.

Дополнительные задачи:

1. Было 11 яблок. После того как каждое из них разрезали пополам, стало 110 половинок. В какой системе счисления вели счёт? Ответ: Двоичная система счисления. Было 3 яблока, стало 6 половинок.

2. Указать в двоичной системе результат вычитания: AB₍₁₆₎ – 10001001₍₂₎ = 100010₍₂₎

3. Выполните все промежуточные действия над числами в указанных системах счисления. Итоговый результат представьте в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной и десятичной системах счисления. При переводе дробной части ограничится 3 знаками. 0,0101₍₂₎  (668,35₍₁₀₎ – 13A,E82₍₁₆₎)₍₈₎

Ответ: 1101110,01110011011111₍₂₎=156,343₍₈₎=6E,737₍₁₆₎=110,451₍₁₀₎

4. найдите позиционную систему счисления, в которой справедливы следующие равенства:

   2*3=11	1-0,1=0,1	0,01+0,1=0,11	22+44-110
   11/110=0,1	12+22=1000	20+25=100	21+24=100

5. В классе 10100₂девочек и 1100₂ мальчиков. Сколько учеников в классе? (32)

6. Расшифруйте высказывание: «Мне 1100 лет, я учусь в 111 классе». (12,7)

7. Один семиклассник о себе написал так «Пальцев у меня 24, на каждой руке по 5, на ногах – 12» Укажите основание системы счисления, которую использовал семиклассник, для того чтобы составить это утверждение. (8)

8. Во сколько раз уменьшится число 212000₃ если: а) отбросить справа один нуль; б) отбросить справа три нуля? (3,27)

Самостоятельная работа №1

1. Если досье на преступников занимают 45 Мб, и каждое из них имеет объем 12 страниц (48 строк по 64 символа в каждой), то число досье равно

1) 1280; 2) 3840; 3) 1250; 4) 1560; 5) 1024.

2. Разность 200104₆ – 30415₆ равна

1) 124245₆; 2) 125245₆; 3) 125145₆; 4) 123235₆; 5) 123435₆.

3. Наибольшее неотрицательное целое число, кодируемое 8 битами

1) 127; 2) 255; 3) 256; 4) 512; 5) 99999999.

4. Для чисел, заданных в различных системах счисления: X = 114₆, Y = 1211₃, Z = 57₈ справедливо соотношение

1. X < Y < Z; 2) X < Z < Y; 3) Y < X < Z; 4) Y < Z < X; 5) Z < X < Y.

5. Сколько различных символов, закодированных байтами, содержится в сообщении: 1101001100011100110100110001110001010111?

6. Решите уравнение 8^х (бит) = 32 (Кбайт).