21.Вычисление производной степенной функции.

Формула для вычисления производной степенной функции xⁿ, где n — произвольное натуральное число, большее 1, такова:  (xⁿ)’=nx^n-1 (1)

Формула производной функции х² уже известна: (х²)' = 2х. Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем:  (x³)’=( x²⋅x)’= (x²)’x+ x²(x)’= 2x⋅x + x²⋅1=3 x²;

(x⁴)’=( x³⋅x)’= (x³)’x+ x³(x)’=3x²⋅x+ x³⋅1=4x³.

Заметим теперь, что 
(x²)’=2x^2-1, (x³)’=3x^3-1, (x⁴)’=4x^4-1,

т.е. для n, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для n, равного 5, 6 и т. д.  Докажем, что формула (1) верна для любого натурального n>4.  Допустим, что формула (1) верна при n = k, т. е. что  (x^k)’=kx^k-1.

Покажем, что тогда формула (1) верна при n = k+1. Действительно,  (x^k+1)’=(x^k⋅x)’=( x^k)’⋅x + x^k⋅(x)’= kx^k-1⋅x + x^k = (k+1) x^k

Поэтому из того, что формула (1) верна при п = 4, следует, что она верна и при n = 5, но тогда она верна и при п = 6, а следовательно, и при n = 7 и т. д. до любого n∈ N (строгое доказательство основано на методе математической индукции).  Если n = 1 или n = 0, то при х≠0 эта формула также справедлива. Действительно, по формуле (1) при х≠0  (x¹)’=1⋅x^1-1 = 1⋅x⁰ =1,

(x⁰)’=0⋅x^0-1 = 0,

что совпадает со значениями производных функций х и 1, уже известными из предыдущего пункта.  Пусть, наконец, п — целое отрицательное число, тогда n = —m, , где т — число натуральное. Применяя правило дифференцирования частного и пользуясь уже доказанной для натуральных т формулой (1), получаем при х≠0:  В результате можно сделать вывод:  Для любого целого n и любого x (x≠0 при n≤1)  (xⁿ)'=nx^n-1

22.Вычисление производной показательной функции.

 Воспользуемся логарифмическим дифференцированием и получим производную показательной функции f (x) = a^x. В соответствии с применяемым правилом, прологарифмируем правую и левую части по натуральному основанию

ln f(x) = ln a^x = x·ln a,

дифференцируя правую и левую части этого равенства, получим

,

откуда найдём

f '(x) = a^x·ln a,

В частном случае a = e производная показательной функции имеет более простой вид

23.Вычисление производных тригонометрических функций.

24.Вычисление производной логарифмической функции.

Логарифмическое дифференцирование

Пусть , тогда

Дифференцирование многих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этого поступают следующим образом. Если требуется найти y' из уравнения y=f(x), то можно:

1. Прологарифмировать обе части уравнения (по основанию е) ln y = ln f(x) = j(x).

2. Продифференцировать обе части равенства, считая ln y сложной функцией от переменной x:  .

3. Выразить y' = y·j'(x) = f(x)·(lnx)'.

Примеры.

1. y = x^a – степенная функция с произвольным показателем.

1.

2.