18.Непрерывность основных элементарных функций.

Элементарными функциями называются такие, которые получаются из основных с помощью допустимых действий.

Элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Целая и дробная рациональные функции. Непрерывность f(x)=const и f(x)=x непосредственно ясна. На основании теоремы о произведении непрерывных функций вытекает непрерывность любого одночленного выражения ax^m, по теореме о сумме непрерывных функций - непрерывность многочлена a₀xⁿ + a₁x_n-1 + ... +a_n-1 + a_n. Непрерывность данных функций имеет место на всем интервале  . Частное двух многочленов   непрерывно всюду, кроме точек b₀x^m + b₁x^m-1 +...+ b_m-1x + b_m = 0 (в этих точках - либо разрыв 2-го рода, либо устранимый разрыв).

Показательная функция y=a^x(a>1) монотонно возрастает на всем интервале  . Ее значения заполняют весь интервал  . Из существования логарифма следует непрерывность данной функции.

Логарифмическая функция  . Рассмотрим случай a>1. Эта функция возрастает при  , и принимает любое значение из  . Отсюда следует ее непрерывность.

Степенная функция  . При возрастании x от 0 до   возрастает   или убывает   на интервале  . Следовательно, данная функция непрерывна.

Тригонометрические функции  ,  ,  ,  ,  ,  . Остановимся на функции  . Ее непрерывность на отрезке   вытекает из ее монотонности, а также из факта (устанавливаемого геометрически), что при этом она принимает все значения от -1 до 1. То же относится к любому промежутку  . Следовательно, функция   непрерывна для всех значений x. Аналогично - для функции  . По свойствам непрерывных функций вытекает непрерывность функций  . Исключение для первых двух функций - значения x вида  , при которых  , для других двух - значения вида  , при которых  .

Обратные тригонометрические функции  ,  ,  ,  .

Первые две непрерывны на  , остальные - на 

19.Производная функции в точке.

Производная функции в точке

Пусть дана определена в окрестности . Рассмотрим

Если этот предел существует, то он называется производной функции f в точке .

Производная функции – предел отн6ошений приращения функции к приращению аргумента, при приращении аргумента .

Операция вычисления или нахождения производной в точке называется дифференцированием.

20.Правила дифференцирования.

Производной функции f(x) в точке х=х₀ называется отношение приращения функции  в этой точке к приращению  аргумента, при стремлении последнего к нулю.Нахождение производной называется дифференцированием. Вычисление производной функции  производится по общему правилу дифференцирования: Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х. Основные правила дифференцирования 1) (производная суммы равна сумме производных) 2) (отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу) 3) Производная частного: , если g  0 4) Производная сложной функции: 5) Если функция задана параметрически: , то