8. Понятие предела функции.

Понятие непрерывности функции непосредственно связано с понятием предела функции.

Число A называется пределом функции f в точке a, предельной для множества E, если для любой окрестности V(A) точки A, существует такая проколотая окрестность точки a, что её образ при отображении f является подмножеством заданной окрестности V(A) точки A.

Предел функции f в точке a, предельной для множества E, обозначается так: или , если можно опустить упоминание множества E.

Поскольку каждой окрестности может быть сопоставлена своя правильная (симметричная) окрестность, то определение предела можно сформулировать на языке -δ в том виде, как это принято в математическом анализе:

Предел функции в точке f в точке a, предельной для множества E, непосредственно связан с пределом последовательности.

Будем рассматривать всевозможные последовательности точек множества E, имеющих своим пределом точку a, и соответствующие им последовательности значений функции в точках последовательности. Если предел функции функции f в точке a существует, то этот предел будет пределом каждой последовательности .

Верно и обратное: если все последовательности сходятся к одному и тому же значению, то функция имеет предел, равный данному значению.

9. Вычисление пределов функции.

1. Подстановка: при хх₀ и х₀области определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х₀

limf(x)=f(x₀)

xx₀

2. Сокращение: при х и хх₀ f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0.

3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число).

4.деление на наивысшую степень х: при х и хх₀ f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень.

5. Приведение к замечательным пределам:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Применение эквивалентных функции к нахождению пределов

Локально эквивалентные функции:

при если

Некоторые эквивалентности (при ):

10.Предел и связанные с ним пределы.

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Функция   не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке.

Однако, можно найти предел этой функции при х→0.

Приведем доказательство записанной формулы. Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол α, выраженный в радианах, заключен в пределах 0 < α < π/2. (Так как   четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α > 0.) Из рисунка видно, что

S_ΔOAC <S_сект.OAC <S_ΔOBC.

Так как указанные площади соответственно равны

S_ΔOAC=0,5∙OC∙OA∙sinα=0,5sinα,S_сект.OAC=0,5∙OC²∙α=0,5α,S_ΔOBC=0,5∙OC∙BC=0,5tgα.

Следовательно,

sin α < α < tg α.

Разделим все члены неравенства на sin α > 0: .

Но  . Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что  Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.

Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности  . Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами  Примеры.

1. 

2. 

3. 

4. 

5.