47.Определители 2-го, 3-го порядков
и их вычисление.
Для нахождения определителя более высокого порядка, матрицу приводят к треугольному виду и считают произведение элементов на главной диагонали.
48.Свойства определителя.
Свойство (1) Определитель не изменится, если все строки заменить соответствующими столбцами и наоборот.
Свойство (2) При перестановке двух каких-либо строк или столбцов местами определитель изменяет знак.
Свойство (3) Определитель равен нулю, если он имеет две равные строки (столбца).
Свойство (4) Множитель, общий для всех элементов строки или столбца, можно выносить за знак определителя.
Свойство (5) Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, то определитель не изменится.
Следствие из свойств 32.4 и 32.5: Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится.
Свойство (6) Сумма произведений элементов какой-либо строки или столбца на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки или столбца равна нулю.
Пример 32.3
Вычислить определитель, используя свойства:
Решение:
1. Третью строку умножим на подходящие множители и прибавим к остальным:
получим:
49.Теорема о разложении определителя.
Рассмотрим квадратную матрицу A n-го порядка. Выберем i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем i-ую строку и j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом Mi j:
.
Алгебраическое дополнение Ai,j элемента ai j определяется формулой
.
Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:
Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:
50.Линейная зависимость векторов.
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Пусть задана система векторов а 1 , а 2 , а 3 ,…,а л (1) одной размерности.
Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a 1 а 1 + a 2 а 2 +…+ a л а л =0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a 1 , a 2 ,…, a л =0 и Î R
Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном a i ¹ 0 (i=1,…,k)
Свойства
1.Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима
2.Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.
3.Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.
4.Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.
Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.
Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.
Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а ¹ 0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число g , что b= g a.
Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллениарны.
Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b= g a. Будем считать, что а,b ¹ 0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b- g a=0. Т.к. коэфф. При b ¹ 0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. a а+ b b=0, a ¹ 0. а= -b/ a *b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.
Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.
Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то a а+ b b+ g c=0, g ¹ 0. с= - a / g *а - b / g *b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.
51.Скалярное произведение векторов и его свойства.
52.Векторное произведение векторов и его свойства.
53.Смешаное произведение векторов и его свойства.
54.Уравнения плоскости в пространстве.
55.Уравнения прямой на плоскости
56.Уравнения прямой и в пространстве.
57.Расстояние от точки до плоскости.
58.Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола
59.Поверхности второго порядка.
60.Матрицы и действия над ними.
61.Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
62.Обратная матрица. Условие существования обратной матрицы.
63.Вычисление обратной матрицы.
64.Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы.
65. Теорема Кронекера.
66 Однородные системы линейных уравнений
67.Структура общего решения однородной системы линейных уравнений.
68.Векторное пространство, определение и примеры.
69.Базис пространства.
70.Формулы преобразования координат.
71.Матрица линейного преобразования.
72.Собственные значения линейного оператора.
73.Собственные векторы линейного оператора
74.Квадратичная форма от двух переменных, ее матрица