39.Достаточные условия перегиба.

1. Если меняет знак при переходе через точку x₀, то x₀ - точка перегиба.

2.Если то при n четном x₀ - точка перегиба, при n нечетном x₀ не является точкой перегиба.

40.Асимптоты графика функции.

Определение. Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой y = kx + b стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая y = kx + bназывается асимптотой кривой y = f(x). Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными. Пусть кривая y = f(x) имеет одну или несколько вертикальных асимптот (рис.1). Для нахождения вертикальных асимптот кривой y = f(x) нужно отыскать такие значения x = a, при которых y обращается в бесконечность, т.е. при которых . Уравнение вертикальной асимптоты будет

x = a (1)

В самом деле, из рис.1 непосредственно видно, что расстояние точки M(x; y) от прямой x = a равно d = | x - a |. Когда x  a, то точка M(x; y) движется по кривой y = f(x), удаляясь в бесконечность, причем ее расстояние d = | x - a | от прямой x = a стремится к нулю и, согласно определению асимптоты, прямая x = a является асимптотой кривой y = f(x)

Теперь предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту. Из произвольно выбранной на кривой точке M(x; y) опустим перпендикуляр MN на асимптоту AB и перпендикуляр MP на ось Ox (рис.2). Тогда имеем LM = PM - PL, т.е. LM = f(x) - y, где f(x) и y - ординаты точек M и L соответственно кривой и асимптоты, имеющих одинаковую абсциссу x. Согласно определению асимптоты, при неограниченном увеличении абсциссы x (т.е. при удалении точки M по кривой в бесконечность) расстояние MNкривой от асимптоты неограниченно уменьшается, т.е . Вместе с перпендикуляром MN будет неограниченно уменьшаться и LM = f(x) - y :

(2)

В самом деле, из LMN имеем

где a - угол наклона асимптоты. Так как cos  = const, то

Пусть y = kx + b -уравнение асимптоты: тогда

откуда

f(x) = kx + b +  (3)

где b - бесконечно малая при x  +. Таким образом, если уравнение кривой можно представить в виде (3), где k и b - некоторые постоянные, а 0 при x  +, то кривая имеет асимптоту y = kx + b. Аналогичное условие можно написать для асимптоты, когдаx  -

Однако не всегда легко представить уравнение кривой в виде (3). Поэтому для нахождения наклонной асимптоты сначала определяют угловой коэффициент k, а потом отрезок b, отсекаемый асимптотой на оси Oy. Выведем формулы для вычисления k и b. Запишем условие (3) в виде