Вопрос 24.

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Определение

Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел  , либо множество комплексных чисел  . Тогда последовательность   элементов множества Xназывается числовой последовательностью.

Примеры

Функция   является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид  .

Функция   является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид  .

Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу   одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида  . В частности, пятым членом x₅ этой последовательности является слово «май».

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C

В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. 

Определение

Пусть дано топологическое пространство T и последовательность   Тогда, если существует элемент   такой, что

,

где U(x) — открытое множество, содержащее x, то он называется пределом последовательности x_n. Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент   такой, что

,

где d(x,y) — метрика, то x называется пределом x_n.

Примеры

Если пространство снабжено антидискретной топологией, то пределом любой последовательности будет любой элемент пространства.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Бесконечно малая величина

Последовательность a_n называется бесконечно малой, если  . Например, последовательность чисел   — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x₀, если  .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если   либо  .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если  , то f(x) − a = α(x),  .

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsin x, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при  .

Последовательность a_n называется бесконечно большой, если  .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x₀, если  .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если   либо  .

Сравнение бесконечно малых

Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость 0/0.

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же   величины α(x) и β(x) (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Если  , то β — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α. Обозначают β = o(α).

Если  , то β — бесконечно малая низшего порядка малости, чем α. Соответственно α = o(β).

Если   (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.

Это обозначается как β = O(α) или α = O(β) (в силу симметричности данного отношения).

Если   (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Примеры сравнения

При   величина x⁵ имеет высший порядок малости относительно x³, так как  . С другой стороны, x³ имеет низший порядок малости относительно x⁵, так как .

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x⁵ = o(x³).

 то есть при   функции f(x) = 2x² + 6x и g(x) = x являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи 2x² + 6x = O(x) и x = O(2x² + 6x).

При   бесконечно малая величина 2x³ имеет третий порядок малости относительно x, поскольку  , бесконечно малая 0,7x² — второй порядок, бесконечно малая   — порядок 0,5.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%8F_%D0%B8_%D0%B1%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE_%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B0%D1%8F

Свойства бесконечно малых

Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Если a_n — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то   — бесконечно большая последовательность.

(Найти примеры б.м и б.б??!?)

Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространствепределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.