27. Производные высших порядков. Формула Тейлора с остаточным

членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Разложение основных

элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы

Тейлора для приближённых вычислений. Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"

Итак, у"=(у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:y(n)=(y(n-1))¢

Свойства производных высших порядков. Основные свойства производных высших порядков следуют из соответствующих свойств первой производной:

1.(cf(x))⁽ⁿ⁾=c·f⁽ⁿ⁾(x).

2.(f(x)+g(x))⁽ⁿ⁾=f⁽ⁿ⁾(x)+g⁽ⁿ⁾(x).

3.Для y=x^m y⁽ⁿ⁾=n(n-1)…(n-m+1)x^m-n. Если m – натуральное число, то при n>m y⁽ⁿ⁾=0.

4.Можно вывести так называемую формулу Лейбница, позволяющую найти производную n-го порядка от произведения функций f(x)g(x) .

Формула Тейлора:

Если функция y=f(x)имеет (n+1)-ю производную в окрестности точки ,то остаточный член (x) можно представить в форме Лагранжа: , где с-некоторая внутренняя точка отрезка [ ,x].Получаем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Если (n+1)-я производная ограничена в окрестности точки ,например если она непрерывна ,то остаточный член можно представить в форме Пеано: ,

Действительно, . Получаем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано: .

Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений.

Заменяя какую-либо функцию, для которой известно разложение по формуле Тейлора, многочленом Тейлора, степень которого выбирается так, чтобы величина остаточного члена не превысила выбранное значение погрешности, можно находить приближенные значения функции с заданной точностью.

Найдем приближенное значение числа е, вычислив значение многочлена Тейлора при n=8: При этом

28. Условие монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое

и достаточное условия экстремума. Отыскание наибольшего и

наименьшего значения функции на отрезке. монотонность - возрастание либо убывание функции , промежутки монотонности - промежутки, на которых функция убывает либо возрастает. Если в каждой точке интервала (a; b) выполнено неравенство f’(x)>0, то функция y = f(x) возрастает на этом интервале. Если f’(x)<0 при x€(a,b), то y = f(x) убывает на (a; b).

(необходимое условие экстремума). Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки х₀. Если х₀ является точкой экстремума функции, то или не существует.

Доказательство. Действительно, производная в точке х₀ либо существует, либо нет. Если она существует, то по теореме Ферма она равна нулю.

Если точка является точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке f’(x) то она равна нулю

Достаточное условие экстремума: Если при переходе через стационарную точку производная меняет знак, то эта точка является экстремумом. Если меняет знак с «+» на «-», то это точка максимума. Если меняет знак с «-» на «+», то это точка минимума.

Если при переходе через стационарную точку производная не меняет знак, то эта точка не является экстремумом.

поиск наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой функции на отрезке можно проводить по следующей схеме:

1)найти критические точки функции, принадлежащие данному отрезку;

2)вычислить значения функции в точках а и b, а также в найденных критических точках. Наименьшее из полученных чисел будет наименьшим значением функции на данном отрезке, а наибольшее – ее наибольшим значением на нем.

29. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость функции характеризует расположение её графика по отношению к касательным.

Кривая называется выпуклой (обращенной выпуклостью вверх) на интервале (ab), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Кривая называется вогнутой (обращенной выпуклостью вниз) на интервале (ab), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Достаточное условие выпуклости: Пусть функция f(x)имеет вторую производную в интервале (a,b).Тогда: если f’’( )<0 на (a,b), то f(x)выпукла вверх на (a,b);

Если f’’( )>0 на (a,b),то f(x)выпукла вниз на(a,b)

Точки,в которых функция меняет направление выпуклости называются точками перегиба.

Достаточное условие перегиба :Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в проколотой окрестности точки и первую производную в точке .Тогда если при переходе через точку вторая производная меняет знак,то - точка перегиба.

30. Асимптоты функции. Понятие об асимптотическом разложении. Асимптота кривой y – это прямая ,к которой эта кривая неограниченно приближается на бесконечности, т.е. это такая прямая l, для которой расстояние d от точки М до l стремится к нулю,когда точка Мудаляется по кривой на бесконечность.Более точно,асимптота-это луч.

Асимптоты подразделяют на: наклонная, горизонтальная, вертикальная.

Вертикальные асимптоты – прямые, задаваемые уравнениями вида х = а. В этом случае определение асимптоты подтверждается, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а бесконечен. Пример. Вертикальной асимптотой графика функции y = 1/x является прямая х = 0, то есть ось ординат.

Горизонтальные асимптоты – прямые вида у = а. Такие асимптоты имеет график функции, предел которой при или при конечен, т.е. .Наклонные асимптоты – прямые вида y = kx + b. Найдем k и b. Поскольку при , , если этот предел существует, конечен и не равен нулю. Однако даже при выполнении этих условий наклонная асимптота может не существовать. Для ее существования требуется, чтобы имелся конечный предел при разности f(x) – kx. Этот предел будет равен b , так как при .

31. Общая схема исследовании функции и построения графика. При исследовании функции y=f(x) и построении ее графика полезно придерживаться следующей схемы:

1.Область определения функции D(y),E(y)

2.Точки пересечения с осями OX и OY

3.промежутки возрастания и убывания, критические точки

4.выпуклости вверх, вниз

5.Точки экстремума

6.асимптоты

7.сам график