59. Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется поверхность S, общее уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид

(22)

где коэффициенты при одночленах второй степени одновременно не равны нулю.

Существует девять типов невырожденных поверхностей, уравнения которых с помощью преобразования координат могут быть приведены к одному из следующих видов. Эти уравнения определяют тип поверхности и называются каноническими уравнениями:

1. Эллипсоид:

2. Гиперболоид

1) однополостный:

2) двуполостный:

3. Конус второго порядка:

4. Параболоид

1) эллиптический:

2) гиперболический:

5. Цилиндр

1) эллиптический:

2) гиперболический:

3) параболический:

Основным методом исследования формы поверхности является метод сечений, который состоит в следующем. Поверхность пересекается координатными плоскостями и им параллельными, а затем на основании вида полученных в сечениях линий делается вывод о виде поверхности. Таким образом изучаются основные геометрические свойства невырожденных поверхностей второго порядка на основе их канонических уравнений.

При этом, когда в общем уравнении поверхности коэффициенты приведение к каноническому виду осуществляется с помощью метода выделения полных квадратов.

В определенных случаях уравнение (22) поверхности может быть приведено к уравнениям, задающим так называемые вырожденные поверхности. Приведем примеры таких случаев.

– пустое множество точек (мнимый эллипсоид);

– точка (0, 0, 0);

– пустое множество точек (мнимый эллиптический цилиндр);

–прямая (ось Oz);

– пара пересекающихся плоскостей;

– пара параллельных плоскостей;

– пустое множество точек;

– плоскость (пара совпадающих плоскостей).

60. Матрицы и действия над ними

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Горизонтальные ряды такой таблицы называются строками матрицы, а вертикальные – ее столбцами. Матрицы обозначают A, B, C, X … . Запись a_ij используется для указания местоположения элемента матрицы (i – номер строки, j – номер столбца ). Числовую матрицу размера (то есть состоящую из m строк и n столбцов чисел) в общем случае записывают в виде

или в более компактной форме ,

Ee обозначают также .

При матрицу называют квадратной и обычно обозначают A_n. Элементы a_ii, такой матрицы образуют ее главную диагональ.

Квадратная матрица вида

, (1)

где , называется диагональной. Если для любого , то матрица (1) называется единичной и обозначается E_n.

Верхней и нижней треугольной матрицами называются квадратные матрицы вида

или соответственно.

Трапециевидной матрицей называется матрица вида

, где числа a₁₁, a₁₂, …, a_kk отличны от нуля.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Обозначают такую матрицу буквой O.

Две матрицы одинакового размера

и (2)

называются равными, если для всех .

Суммой матриц (2) называется матрица A+B размера m×n, состоящая из элементов , где .

Произведением матрицы A_m×n на число α называется матрица .

Разностью матриц (2) называется матрица A–B = A+ (–1)B.

Свойства опреаций сложения матриц и умножения на число:

1. 

2. 

3. 0·A=О;

4. 

5. 

6. 

7. A и B – матрицы одинакового размера.

Для матриц A и B может быть введена операция умножения A·B при условии, что матрицы согласованы, т. е. количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B.

Произведением матрицы A_l×m на матрицу B_m×n называется матрица элементы которой

Свойства операции умножения матриц:

1. 

2. 

3. 

4. 

В общем случае из существования AB не следует существование BA. Даже если оба эти произведения определены, они не всегда равны. Матрицы, для которых называются коммутативными.

Пусть A – квадратная матрица. Тогда k-я степень ( ) матрицы A определяется равенством . По определению принимают при условии

Матрица A^T , полученная из матрицы A заменой столбцов строками с теми же номерами, называется транспонированной к матрице A, то есть

Свойства операции транспонирования матриц:

1. 

2. 

3. 

4. 

Если для квадратной матрицы A выполняется соотношение то матрица A называется симметрической матрицей, а если – то кососимметрической.

Элементарными преобразованиями над строками матрицы A называют следующие операции:

1. перестановку строк;

2. умножение строки на ненулевое число;

3. прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на ненулевое число.

Говорят, что матрица A эквивалентна матрице B (пишут: A~B), если матрица B получена из A при помощи элементарных преобразований строк.