56. Уравнение прямой в пространстве
Пусть
прямая,
уравнение которой необходимо записать,
произвольная
точка этой прямой.
Если известны
координаты ее направляющего вектора
и некоторой фиксированной точки
этой прямой, то
(12)
где
– радиус-вектор точки
радиус-вектор
произвольной точки,
,
векторно-параметрическое
уравнение.
В координатной форме уравнение (12)
равносильно трем параметрическим
уравнениям:
(13)
Система (13) определяет параметрические уравнения прямой.
По исходной информации получаем канонические уравнения прямой:
(14)
Пусть известны 2
точки
и
,
лежащие на прямой
.
Тогда векторы
,
коллинеарны и можно записать уравнение
прямой, проходящей через две точки:
.
(15)
В пространстве прямую можно задать как линию пересечения двух плоскостей:
(16)
В уравнениях плоскостей (16) коэффициенты при переменных не являются пропорциональными.
О взаимном расположении двух прямых в пространстве можно судить по их направляющим векторам.
Прямые параллельны при условии коллинеарности их направляющих векторов (координаты пропорциональны).
Прямые перпендикулярны при условии перпендикулярности их направляющих векторов (скалярное произведение равно 0).
Угол между прямыми можно определить через косинус угла между направляющими векторами.
Прямые лежат в
одной плоскости при условии компланарности
их направляющих векторов и вектора
где
и
– точки этих прямых (смешанное произведение
равно 0).
Расстояние от точки до прямой L
(17)
где – направляющий вектор, – точка прямой.
Эту формулу можно использовать и для нахождения расстояния между параллельными прямыми.
Если прямые и являются скрещивающимися, то расстояние между ними
(18)
где
и
– радиус-векторы точек
и
принадлежащих прямым
и
соответственно, а векторы
и
– их направляющие векторы.
56. Уравнение прямой и плоскости в пространстве
Пусть прямая L задана каноническими уравнениями:
где
а плоскость P
задана общим уравнением:
где
Тогда взаимное
расположение прямой L
и плоскости P
в пространстве можно определить по
взаимному расположению направляющего
вектора
прямой L
и нормальному вектору
плоскости P:
тогда и только
тогда, когда
тогда и только
тогда, когда
тогда и только
тогда, когда
тогда и только
тогда, когда
.
В последнем координаты
точки пересечения
могут быть найдены следующим образом.
От канонических уравнений прямой следует
перейти к параметрическим, после чего
подставить найденные значения
в уравнение плоскости. Затем надо
разрешить полученное уравнение
относительно параметра t
и найденное значение
подставить в параметрические уравнения.
Это позволит найти значения
которые и будут координатами искомой
точки
пересечения прямой L
и плоскости P.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость, т. е.
