3. Числовые последовательности. Определение и примеры

Числовой последовательностью называется функция, определённая на множестве натуральных чисел, которая каждому натуральному числу n ставит в соответствие число . Числовую последовательность обозначают: , т.е.

– n-ый член последовательности, а формула называется формулой общего члена последовательности.

Геометрически (точками на числовой оси) задать числовую последовательность – это значит задать правило, по которому каждому натуральному числу n ставится в соответствие одно и только одно число .

Зная функцию и номер n можно вычислить любой член последовательности.

Последовательность, у которой все члены равны между собой, называется постоянной.

Последовательность может быть задана:

1. аналитическим способом (задается формула n-го члена последовательности, по которому могут быть найдены все остальные).

2. реккурентным способом. (задается первый или несколько первых членов последовательности и указывается правило, позволяющее найти последующие члены прогрессии через предыдущие).

3. геометрически (точками на числовой оси).

4. графическим способом (задаются точки , на координатной плоскости).

5) Словесным описанием.

6) Табличным способом.

Последовательность называется возрастающей (строго), если является возрастающей (строго) числовой функцией, т.е. если .

Последовательность называется убывающей (строго), если – убывающая (строго) числовая функция, т.е. .

Последовательность называется неубывающей, если каждый её член, начиная со второго, не меньше предыдущего, т.е. .

Последовательность (х_n) называется невозрастающей, если каждый её член, начиная со второго, не больше предыдущего, т.е. .

Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными последовательностями.

Последовательность называется ограниченной, если существует такие числа m и M, что выполняется неравенство .

Если существует такое число M, что , то последовательность называется ограниченной сверху; если существует такое число m, что , то последовательность называется ограниченной снизу.

Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда существует такое положительное число C, что выполняется неравенство

.

4. Предел числовой последовательности

Число а называется пределом последовательности (х_n), если для любого положительного числа найдётся такой номер (зависящий от ), что, начиная с этого номера (т.е. для всех ), будет выполняется неравенство

(1)

Обозначают:

.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся. Дадим геометрическую интерпретацию предела. Если число а является пределом последовательности (х_n), то в произвольную, сколь угодно малую -окрестность точки а, попадают все члены данной последовательности начиная с некоторого номера.

Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.

Если последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела.

Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) сумма и произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью;

2) произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой;

3) для того чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство , где – бесконечно малая последовательность.

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдётся такой номер , что для всех n, начиная с этого номера , выполняется неравенство

.

Если последовательность (х_n) – бесконечно большая, то говорят, что она стремится к бесконечности, и пишут .

Последовательность не имеет предела в 2-х случаях:

1. предел не определён;

2. последовательность является бесконечно большой.

Если - бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая последовательность.

Если – бесконечно малая последовательность, то – бесконечно большая.

Если последовательности , имеют пределы, то справедливы следующие свойства:

1) где ;

2) ;

3) ;

4) где .

Свойства 2) и 3) обобщаются, соответственно, на конечное число слагаемых и множителей.

При вычислении пределов числовых последовательностей могут возникнуть неопределённости вида . Для того чтобы вычислить предел в таком случае необходимо тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.