55. Уравнение прямой на плоскости

1. Положение прямой L на плоскости относительно прямоугольной системы координат xOy однозначно определено, если задан направляющий вектор и радиус-вектор некоторой фиксированной точки В этом случае радиус-вектор произвольной точки задается формулой

(15)

где

Уравнение (15) называется векторно-параметрическим уравнением прямой L.

2. Если координаты точки , которая лежит на прямой , координаты направляющего вектора, то прямая задается параметрическими уравнениями

3. Если направляющий вектор, такой, что , и точка, через которую проходит прямая, то верно каноническое уравнение:

(16)

4. Если L не параллельна Ox, то для всех направляющих векторов отношение По заданному угловому коэффициенту k прямой L и точке уравнение прямой L может быть задано в следующем виде:

y – y₀ = k(x – x₀).

В случае, если M₀(0, b) – точка пересечения прямой L с осью Oy, это уравнение может быть записано так:

y = kx + b.

5. Координаты направляющего вектора прямой L могут быть найдены, если известны две точки M₀(x₀, y₀) и M₁(x₁, y₁) этой прямой: Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

(17)

6. Если известны точки пересечения прямой L с координатными осями, т. е. точки M₀(a, 0) и M₁(0, b), то справедливо уравнение «в отрезках»:

7. Положение прямой на плоскости однозначно определено и в случае, когда задан нормальный вектор этой прямой и точка Условие перпендикулярности векторов позволяет перейти к векторному уравнению

и затем к его координатной форме:

A(x – x₀) + + B(y – y₀) = 0 или

Ax + By + C = 0, (18)

где C = –Ax₀ – By₀.

Уравнение (18) называется общим уравнением прямой L.

8. Если в качестве нормального вектора берется единичный вектор направленный из начала координат в сторону прямой, т.е.

то справедливо нормальное уравнение прямой L на плоскости:

xcosα + ycosβ – p = 0,

где p > 0 – расстояние от начала координат до прямой.

Величина δ(M₀, L) = x₀cosα + y₀cosβ – p, где называется отклонением точки М₀ от прямой L. При этом δ < 0, если M₀ и O(0, 0) лежат по одну сторону от прямой L, δ > 0 – если по разные. Расстояние d(M₀, L) от точки до прямой равно абсолютному значению отклонения.

От общего уравнения прямой к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель

Расстояние от точки M₀(x₀, y₀) до прямой L: Ax + By + C = 0 может быть найдено по формуле:

(19)

Угол между прямыми может быть найден с помощью косинуса угла между их направляющими или нормальными векторами, а также по формуле:

где k₁ и k₂ – угловые коэффициенты прямых.

При этом возможны частные случаи:

Здесь L₁ и L₂ – прямые на плоскости, для которых – угловые коэффициенты соответственно прямых и .

В полярной системе координат уравнение прямой имеет вид

ρcos(φ – φ₀) = p,

где p – длина перпендикуляра, проведенного из полюса к прямой, φ₀ – угол между полярной осью и перпендикуляром.