51. Скалярное произведение векторов и его свойства

Кроме линейных операций, для векторов определено также скалярное произведение.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число

.

Скалярное произведение обозначается также .

Если хотя бы один из векторов или нулевой, то .

Скалярным квадратом вектора называется величина

.

Физический смысл скалярного произведения двух векторов состоит в том, что оно численно равно работе, осуществляемой силой по перемещению материальной точки на вектор , то есть

.

Для вычисления угла между векторами и можно воспользоваться формулой

.

Свойства скалярного произведения:

1. – коммутативность;

2. –дистрибутивность;

3. ;

4. тогда и только тогда, когда ;

5. тогда и только тогда, когда ,

тогда и только тогда, когда

6)

7) .

52. Векторное произведение векторов и его свойства

Векторным произведением двух векторов и называется вектор, удовлетворяющий следующим условиям:

1) ;

2)

3) тройка векторов – правая.

Векторное произведение обозначают также

Если хотя бы один из векторов или нулевой, то

Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что длина этого вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и :

.

Физический смысл векторного произведения состоит в том, что момент силы приложенной к точке A, относительно точки O есть векторное произведение векторов и т. е.

.

Свойства векторного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) при тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Если и то

Последнюю формулу удобно записать в виде формального определения третьего порядка:

53. Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанным произведением трех векторов и называется число, определяемое соотношением

.

Если хотя бы один из векторов – нулевой, то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл смешанного произведения векторов состоит в том, что его абсолютное значение равно объему V параллелепипеда, построенного на векторах приведенных к общему началу:

.

Свойства смешанного произведения

1) ;

2) ;

;

3) , где

4) при тогда и только тогда, когда – компланарные векторы;

5) векторы образуют базис в трехмерном пространстве при условии

6) если то векторы образуют правую тройку; если – левую.

В случае, когда векторы заданы в ортонормированном базисе координатами их смешанное произведение может быть найдено по формуле

. (10)

54. Уравнение плоскости в пространстве

Пусть P – плоскость, уравнение которой надо записать, – произвольная точка плоскости.

1. Если задана точка плоскости Р и два некомпланарных вектора и , параллельных данной плоскости, то справедливы следующие уравнения плоскости Р

(1)

где – радиус-вектор точки , называется векторно-параметрическим уравнением плоскости P. Запись уравнения (1) в координатной форме

(2)

называется параметрическими уравнениями плоскости.

Плоскость можно задать уравнением

. (3)

2. Если известны три точки плоскости P, не лежащие на одной прямой: , , , то имеем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :

(4)

3. Если известны точки пересечения плоскости P с координатными осями, т. е. M₀(a, 0, 0), M₁(0, b, 0), M₂(0, 0, c), то справедливо уравнение плоскости «в отрезках»:

(5)

4. Если задан нормальный вектор и точка , то справедливо уравнение

(6)

После преобразования последнего уравнения приходим к общему уравнению плоскости P:

где

5. Если в качестве нормального вектора плоскости P взять единичный вектор направленный из начала координат в сторону плоскости, то где Тогда справедливо нормальное уравнение плоскости

(7)

где – расстояние от начала координат до плоскости.

Величина

, (8)

где называется отклонением точки от плоскости . При этом: если и O(0, 0, 0) лежат по одну сторону от плоскости; – если лежат по разные стороны; если Расстояние от точки до плоскости равно абсолютному значению ее отклонения, т. е.

.

От общего уравнения плоскости к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель

(9)

Расстояние от точки до плоскости заданной общим уравнением может быть найдено по формуле

(10)

Угол между плоскостями в пространстве определяется по косинусу угла между нормальными векторами и этих плоскостей:

(11)