33. Релятивистский закон сложения скоростей.

Рассмотрим движение материальной точки в системе К^', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью V. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами x, y, z, а в системе К^' в момент времени t^' – координатами x^', y^', z^', то U_x = dx/dt, U_y = dy/dt, U_z = dz/dt и U^'_x = dx^'/dt^', U^'_y = dy^'/dt^', U^'_z = dz^'/dt^' представляют собой соответственно проекции на оси x, y, z и x^', y^', z^' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К и К^'.

Согласно преобразованиям Лоренца (2), dx = (dx^' + Vdt^') / (√1 – β² ), dy = dy^', dz = dz', dt = (dt^' + Vdx^'/C²)/ (√1 – β² ).

Произведя соответствующие преобразования, получаем релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности:

К^' → К К → К^'

U_x = (U^'_x + V)/(1 + V U^'_x/C²), U^'_x = (U_x - V)/(1 - V U_x/C²),

U_y = U^'_y (√1 – β²)/(1 + VU^'_x/C²), U^'_y = U_y (√1 – β²)/(1 - VU_x/C²),

U_z = U^'_z (√1 – β²)/(1 + VU^'_x/C²), U^'_z = U_z (√1 – β²)/(1 - VU^'_x/C²). (8)

Если материальная точка движется параллельно оси ОХ, то скорость U относительно системы К совпадает с Ux, а скорость U' относительно К'— с U'x. Тогда закон сложения скоростей примет вид

U = (U^' + V)/ (1 + VU^'/C²), U^' = (U – V)/ (1 – VU/C²). (9)

Из (8) и (9) видно, что закон преобразования скоростей принципиально отличается от закона сложения скоростей в ньютоновой механике. Если скорости V, U^' и U малы по сравнению со скоростью С, то формулы (8) и (9) переходят в закон сложения скоростей в классической механике. Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна. Действительно, если U^' = С, то (9) примет вид U = (C + V)/(1 = CV/C) = C, Т.е. релятивистский закон сложения скоростей находится в соответствии с постулатами Эйнштейна.

Из (9) следует, что даже если складываемые скорости сколь угодно близки к скорости света С, то их результирующая скорость всегда меньше или равна С. Это получается, если в качестве примера взять случай U^' = V = C и подставить в (9), то получим, что U = С. Таким образом, при сложении скоростей результат не может превысить скорости света в вакуууме. Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить.

В теории Эйнштейна (четырехмерном пространстве) реальной физической величиной, не зависящей от системы отсчета, т.е. инвариантной по отношению к преобразованиям координат является интервал времени между двумя событиями, такой интервал одинаков во всех инерциальных системах отсчета. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

34. Основные законы релятивистской динамики. Закон взаимосвязи массы и энергии.

Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона

F¯ = dp¯/dt = d(mV¯)/dt.

Оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса материальной точки

¯р = m₀V¯/√1 – V²/C².

Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид F¯ = d(m₀V¯/√1 – V²/C²)/dt, (2)

Или F¯ = dp¯/dt, (3), где ¯р = mV¯ = m₀V¯/√1 – V²/C². (4)

Уравнение (3) внешне совпадает с основным уравнением ньютоновской механики, но в (3) используется релятивистский импульс. Таким образом, уравнение (2) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой.

В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени ∑¯р = const.

Основные определения кинематики и динамики материальной частицы в теории относительности с помощью 4-векторов можно записать следующим образом:

«положение» ¯R,

«скорость» ¯U = d¯R/dt,

«ускорение» ¯W = d¯U/dt, (5)

«импульс» ¯p =m¯U,

«сила» F¯ = dp¯/dt = md¯U/dt = m¯W.

Закон взаимосвязи массы и энергии. Поскольку масса тела растет со скоростью, следовательно, можно предполагать связь массы с кинетической энергией. Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы. Известно, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении: dT = dA или dT = F·dr. (6)

Учитывая, что dr = Vdt, и подставив в (6) выражение (2), получим

dT = (d/dt)( m₀V¯/√1 – V²/C²) Vdt = ¯Vd(m₀V¯/√1 – V²/C²).

Преобразовав данное выражение, получим dT = d(m₀ C² /√1 – V²/C²) = C²dm, (7),т.е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.

Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя m₀, то, проинтегрировав (7), получим T = (m - m₀ )C², (8)

А. Эйнштейн обобщил положение (7), предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии частицы, но и для полной энергии частицы,

ΔЕ = С²Δm, (10) Е = mC² = m₀C²/(√1 – V²/C²) (11)

Уравнения (10) и (11) выражают фундаментальный закон природы- закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме. Величину m₀C² = Е₀ называют энергией покоящегося тела. Тогда равенство (9) можно представить так: Е = Е₀ + Т,т.е. полная энергия равна сумме кинетической энергии Т и энергии покоя Е₀. Эйнштейн на простом примере показал, что количество энергии электромагнитного излучения Е обладает инертной массой Е/С². Иногда это называют эквивалентностью массы и энергии.

Энергия связи системы равна работе, которую необходимо затратить, чтобы разложить эту систему на составные части. Энергия связи системы Е_св = ∑m_0iC² – M₀C², где m_0i – масса покоя I –й частицы в свободном состоянии, M₀ – масса покоя системы, состоящей из n частиц.

Закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии блестяще подтвержден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетических эффектов при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц. Особенно показательно в этом отношении явление «аннигиляции» частиц (или «рождения» пары частиц), когда две частицы одинаковой массы, но с противоположными зарядами (например, электрон и позитрон) сталкиваются и их масса «превращается» в энергию электромагнитного излучения. Или лучше сказать так: в соответствии с законом сохранения энергии взаимодействующих частиц энергия перешла в такое количество энергии электромагнитного излучения, которое имеет массу, равную массе сталкивающихся частиц. Опыты атомной и ядерной физики не только подтвердили выводы теории относительности, но многие из них были поставлены на основе выводов этой теории.