8.Принадлежность Прямая и точка в плоскости.

К числу основных задач, решаемых на плоскости, относят: проведение любой прямой в плоскости, построение в плоскости некоторой точки, построение недостающей проекции точки, проверка принадлежности точки плоскости.

Решение этих задач основывается на известных положениях геометрии: прямая принадлежит плоскости , если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости, или через одну точку этой плоскости параллельно прямой, лежащей в этой плоскости или ей параллельной. При этом используется известное условие, что если точка принадлежит плоскости, то ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой, принадлежащей плоскости.

Проведение любой прямой в плоскости.

Для этого достаточно (рис.3.10) на проекциях плоскости взять проекции двух произвольных точек, например а₁ ,а₂ и 1₁, 1₂, и через них провести проекции а₁1₁, а₂1₂ прямой А-1. На рис. 3.11 проекции b₁1₁, b₂1₂ прямой B-1проведены параллельно проекциям а₂с₂, а₁с₁ стороны АС треугольника, заданного проекциями а₁b₁c₁, а₂b₂c₂. Прямая B-1принадлежит плоскости треугольника ABC.

П остроение в плоскости некоторой точки.

Для построения в плоскости точки в ней проводят вспомогательную прямую и на ней отмечают точку. На чертеже(рис.3.12) плоскости, заданной проекциями а₁ ,а₂точки, b₁c₁, b₂c₂ прямой, проведены проекции а₁1₁, а₂1₂вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости. На ней отмечены проекции d₁, d₂ точки D, принадлежащей плоскости.

П остроение недостающей проекции точки.

На рис.3.13 плоскость задана проекциями а₁b₁c₁, а₂b₂c₂треугольника. Принадлежащая этой плоскости точка D задана проекцией d₂ . Следует достроить горизонтальную проекцию точки D. Ее строят с помощью вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости и проходящей через точку D. Для этого проводят, например, фронтальную проекцию b₂1₂d₂прямой, строят ее горизонтальную проекцию b₁1₁ и на ней отмечают горизонтальную проекцию d₁ точки.

П роверка принадлежности точки плоскости.

Для проверки принадлежности точки плоскости используют вспомогательную прямую, принадлежащую плоскости. Так на рис. 3.14 плоскость Q задана проекциями а₁b₁, а₂b₂ и c₁ d₁, c₂d₂ параллельных прямых, точка - проекциями e₁, e₂. Проекции вспомогательной прямой проводят так, чтобы она проходила через одну из плоскостей точки. Например, фронтальная проекция 1₂2₂ вспомогательной прямой проходит через проекцию e₂.Построив горизонтальную проекцию 1₁2₁вспомогательной прямой , видно, что точка Е не принадлежит плоскости Q.

9.Определение натуральной величины отрезка

Определение длины отрезка прямой линиии углов наклона прямой к плоскостям проекций.

Длину отрезка АВ можно определить из прямоугольного треугольника АВС   |AС|=|A₁B₁|, |BС|= , угол угол наклона отрезка к плоскости П₁, угол наклона  отрезка к плоскости П₂. Для этого  на эпюре (рис.3.17) из точки B₁  под углом 90⁰ проводим отрезок _₁*, полученный в результате построений отрезок A₁B₁*и будет натуральной величиной отрезка АВ, а угол B₁A₁B₁* =α. Рассмотренный метод называется методом прямоугольного треугольника.

Однако все построения можно объяснить, как вращение треугольника АВСвокруг стороны AС до тех пор, пока он не станет параллелен плоскости П₁, в этом случае треугольник проецируется на плоскость проекций без искажения. Подробнее вращение вокруг оси параллельной плоскости проекций рассмотрены в разделе «Методы преобразования ортогональных проекций»

а) модель	б) эпюр

Метод замены плоскостей

зменение взаимного положения изучаемого объекта и плоскостей проекций достигается путем замены одной из плоскостей П₁ или П₂ новой плоскостями П₄ (рис. 148). Новая плоскость всегда выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций.

Для решения некоторых задач может потребоваться двойная замены плоскостей проекций (рис. 149). Последовательный  переход от одной системы плоскостей проекций к другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 148). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.

Выберем новую плоскость проекций П₄, параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П₁. Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П₁П₂ в систему П₁П₄ , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка  А₄ В₄ будет натуральной величиной отрезка АВ.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 148. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций

Задача 2: Определить расстояние от точки А до прямой общего положения, заданной отрезком ВС (рис._149).