12.Взаимное положение прямой и плоскости
Прямая линия, параллельная плоскости |
При решении вопроса о параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии:прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскостии не принадлежит этой плоскости.
Задача. Дано: проекции плоскости общего положения ABC и прямой общего положения а.
Требуется оценить их взаимное положение (рис.5.20). Гайки навинчиваются на резьбовой конец болта, при этом соединяемые детали зажимаются между гайкой и головкой болта. Рисунок плоскостями гипсовой головы в двух поворотах Это задание отчасти напоминает предыдущее, но теперь мы пользуемся плоскостями произвольной формы и ориентации. Суть задания заключается в том чтобы выразить конкретную форму через минимальное количество плоскостей но с максимальным сходством. Пропуск или ошибка хотя бы в одном из размеров делают чертеж непригодным к использованию. Последовательность нанесения размеров
|
|
|||
|
а) модель Выполнение графических работ Проекции плоских углов
|
|
б) эпюр |
|
Рисунок 5.20. Прямая параллельная плоскости |
||||
Для этого через прямую а проведем вспомогательную секущую плоскость - в данном случае горизонтально проецирующая плоскость. Найдем линию пересечения плоскостей и АВС- прямую п (DF). Проекция прямой п на горизонтальную плоскость проекций совпадает с проекцией а1 и со следом плоскости . Проекция прямой п2 параллельна а2, п3 параллельна а3, следовательно, прямая а параллельна плоскости AВС.
Прямая линия, пересекающая плоскость |
Нахождение точки пересечения прямой линии и плоскости – основная задача начертательной геометрии.
Задача. Дано: плоскость AВС и прямая а.
Требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью и определить видимость прямой по отношению к плоскости.
Для решения задачи:
Через горизонтальную проекцию прямой а1 проведем вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость (таким образом а).
Горизонтальный след плоскости 1 пересекает проекцию плоскости A1В1С1 в точках D1 и F1, которые определяют положение горизонтальной проекции п1- линии пересечения плоскостей и AВС. Для нахождения фронтальной и профильной проекции пспроецируем точки D и F на фронтальную и профильную плоскости проекций.
На фронтальной и профильной проекциях линия пересечения плоскостей п пересекает проекции а в точке К, которая и является проекцией точки пересечения прямой а с плоскостью AВС, по линии связи находим горизонтальную проекцию К1.
Методом конкурирующих точек определяем видимость прямой а по отношению к плоскости AВС.
|
|
|||
|
а) модель |
|
б) эпюр |
|
Рисунок 5.21. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости |
||||
Таким образом алгоритм решения задачи состоит из следующей последовательности действий (рис.5.21):
1. Построение вспомогательной секущей плоскости ( горизонтально – проецирующая плоскость ), которую проводят через прямую аа;
2. Построение линии пересечения вспомогательной плоскости и заданной плоскости п;
3. Определение искомой точки К, как точки пересечения двух прямых, заданной - а и полученной в результате пересечения плоскостей – п Ка п. В качестве вспомогательной плоскости рекомендуется брать одну из проецирующих плоскостей.
4. Определение видимости прямой а относительно плоскости
Прямая линия перпендикулярная плоскости. |
Докажем следующую теорему о перпендикуляре к плоскости: Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.
Пусть прямая n, перпендикулярная плоскости, пересекает плоскость BCD в точке N, тогда по условию n перпендикулярна любой прямой плоскости. Проведем в плоскости BCD горизонталь h, а на основании теоремы о проецировании прямого угла можно утверждать, что на горизонтальную плоскость проекций они проецируются под прямым углом, т.е. n1 h1. Аналогично для фронтали – f n f2 n2.
Справедлива и обратная теорема: Если проекции прямой перпендикулярны одноименным проекциям соответствующих главных линий плоскости (горизонтали и фронтали), то такая прямая перпендикулярна плоскости.
Доказательство следует из теоремы о проецировании прямого угла.
Исходя из рассмотренных теорем, можно решить задачу о построении перпендикуляра к плоскости из точки А (рис.5.22).
Задача. Дано: плоскость ВСD и точка А.
Требуется построить прямую линию n проходящую через точку А и перпендикулярную плоскости ВСD.
В плоскости ВСD построим фронталь f и горизонталь h. В горизонтальной плоскости проекций проведем через точку А1 прямую n1перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h1, а на фронтальной плоскости проекций через точку А2 прямую n2перпендикулярно фронтальной проекции фронтали f2, согласно выше сказанному полученная прямая n будет перпендикулярна плоскостиВСD.
|
|
||
|
а) модель |
|
б) эпюр |
Рисунок 5.22. Построение прямой, перпендикулярной плоскости
13.Определение точки встречи прямой и плоскости.
ПОСТРОЕНИЕ ТОЧКИ ВСТРЕЧИ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ В пространстве прямая может либо принадлежать плоскости, либо не принадлежать плоскости. Это утверждение справедливо и для точки. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит:
Через две точки, принадлежащие плоскости; Через точку плоскости параллельно любой прямой этой плоскости. Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой (кривой), лежащей в данной плоскости.
Пусть нам дан ортогональный чертёж плоскости a - общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми а и b. Чтобы построить прямую, принадлежащую данной плоскости, необходимо выполнить одно из вышеперечисленных условий. На прямых a и b возьмём две точки А и В и проведём прямую f через эти точки. Прямая f принадлежит плоскости a, т. к. она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости.
Алгоритм определения точки пересечения прямой и плоскости: Пусть плоскость задана параллельными прямыми n и m. Плоскость Сигма(n||m) l пересекает сигма в точке К. В плоскости задают прямую t, конкурирующую с данной прямой. Отмечают точки пересечения данной прямой и конкурирующей прямой. Видимость участков определяют при помощи конкурирующих точек.
Взаимное
положение прямой и плоскости определяется
количеством общих точек, принадлежащих
прямой и плоскости. Прямая, имеющая с
плоскостью одну общую точку, пересекает
плоскость.
Нахождение
точки пересечения прямой и плоскости
является одной из основных задач
начертательной геометрии. Эта задача,
как вспомогательная, входит в решение
более сложных задач на пересечение
поверхностей плоскостью, на построение
линии пересечения двух поверхностей
и т.п.
В
зависимости от положения прямой и
плоскости относительно плоскостей
проекций можно выделить три задачи
на построение точки встречи прямой и
плоскости:
-
пересечение проецирующей плоскости
с прямой общего положения;
-
пересечение плоскости общего положения
с проецирующей прямой;
-
пересечение плоскости общего положений
с прямой общего положения.
7.2.1.Построение
точки встречи прямой общего положения
с проецирующей плоскостью
В
качестве примера построим точку
встречи фронтально проецирующей
плоскости с
прямой общего положения n (рис.7.4).
Пусть n =
= М. М2 -
фронтальная проекция искомой
точки М должна
лежать на фронтальной проекции П2 прямой n,
как точка, принадлежащая прямой n.
В то же время фронтальная
проекция М2 точки М должна
лежать на следе 2 плоскости ,
так как искомая точка принадлежит и
плоскости .
Следовательно, искомая фронтальная
проекция М2 точки М может
лежать только на пересечении n2 и 2.
Имея фронтальную проекцию М2 точки М,
при помощи линии связи легко найти ее
горизонтальную проекцию.
7.2.2.Построение
точки встечи плоскости общего положения
с проецирующей прямой
На рис.7.5 показано построение точки встречи горизонтально проецирующей прямой n с плоскостью общего положения (a b). Горизонтальные проекции всех точек, принадлежащих данной прямой, в том числе и горизонтальная проекция М1 искомой точки М, будут совпадать с n1 - горизонтальной проекцией прямой n. Следовательно, задача сводится к нахождению недостающей фронтальной проекцииМ1 точки М, лежащей в плоскости . Через М1 проведем прямую 1121. По линиям связи найдем фронтальные проекции 12, 22 точек 1 и 2, через которые проведем фронтальную проекцию прямой 12. На пересечении 1222 с n2 и будет находиться фронтальная проекция М2 точки М. 7.2.3.Построение точки встречи прямой общего положения с плоскостью общего положения Пусть дана некоторая плоскость и прямая n (рис.7.6). Требуется построить точку М пересечения данных прямой и плоскости. Решение этой задачи состоит из трех простейших последовательных операций: 1) через прямую проводят вспомогательную плоскость ; 2) находят линию пересечения 1 данной и вспомогательной плоскостей; 3) отмечают искомую точку М как точку пересечения прямой 1 с данной прямой n. Пример построения точки встречи прямой общего положения с плоскостью общего положения на комплексном чертеже приведен на рис. 7.7. Заключаем прямую n в горизонтально проецирующую плоскость ( 1 n1). Находим линию пересечения плоскостей и ( =12). Горизонтальная проекция этой прямой совпадает с горизонтальной проекцией прямой n. Фронтальную проекцию прямой 12 проводим через 12 и 22, которые находим с помощью линий связи по принадлежности плоскости . Отмечаем точку пересечения фронтальных проекций 1222 и n2 прямых 12 и n ( (1222 n2 = M2). M2 является фронтальной проекцией точки встречи прямой n с плоскостью . Горизонтальную проекцию строим по линиям связи по принадлежности точки M прямой n. Видимость прямой n определяем с помощью конкурирующих точек. Конкурирующими называют точки, проекции которых совпадают. Для определения видимости на П1 в качестве конкурирующих возьмем точки 1 и 3, одна из которых принадлежит прямой ВС, вторая - n. Найдем фронтальные проекции этих точек. Так как точка 1 раположена выше точки 3, то на П1 мы видим плоскость, а прямую n не видим. В точке пересечения видимость меняется на обратную. Видимость на П2 находим с помощью конкурирующих точек 4 и 5 аналогично. Другой способ: Алгоритм определения точки пересечения прямой и плоскости: Пусть плоскость задана параллельными прямыми n и m. Плоскость Сигма(n||m) l пересекает сигма в точке К. В плоскости задают прямую t, конкурирующую с данной прямой. Отмечают точки пересечения данной прямой и конкурирующей прямой. Видимость участков определяют при помощи конкурирующих точек.
14.Взаимное положение плоскостей. Взаимное положение плоскостей Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельны, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей. 1. Параллельные плоскости. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Это определение хорошо иллюстрируется задачей, через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми ab (рис.7.1). Задача. Дано: плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми ab и точка В. Требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости ab и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d. Согласно определения если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости то эти плоскости параллельны между собой. Для того чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой d||a, с||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2 ,с2||b2; d3||a3,с3||b3.
Рисунок 7.1. Параллельные плоскости 2. Пересекающиеся плоскости, частный случай – взаимно перпендикулярные плоскости. Линия пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей. Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая (рис.7.2). Задача. Дано: плоскость общего положения задана треугольником АВС, а вторая плоскость - горизонтально проецирующая T. Требуется построить линию пересечения плоскостей. Решение задачи заключается в нахождении двух точек общих для данных плоскостей, через которые можно провести прямую линию. Плоскость, заданная треугольником АВС можно представить, как прямые линии (АВ), (АС), (ВС). Точка пересечения прямой (АВ) с плоскостью T - точка D, прямой (AС) -F. Отрезок [DF] определяет линию пересечения плоскостей. Так как T - горизонтально проецирующая плоскость, то проекция D1F1 совпадает со следом плоскости T1, таким образом остается только построить недостающие проекции [DF] на П2 и П3.
Рисунок 7.2. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью Перейдем к общему случаю. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения a(m,n) и b (ABC) (рис.7.3).
Рисунок 7.3. Пересечение плоскостей общего положения Рассмотрим последовательность построения линии пересечения плоскостей a(m//n) и b(АВС). По аналогии с предыдущей задачей для нахождения линии пересечения данных плоскостей проведем вспомогательные секущие плоскости g и d. Найдем линии пересечения этих плоскостей с рассматриваемыми плоскостями. Плоскость g пересекает плоскость a по прямой (12), а плоскость b - по прямой (34). Точка К - точка пересечения этих прямых одновременно принадлежит трем плоскостям a, b и g, являясь таким образом точкой принадлежащей линии пересечения плоскостей a и b. Плоскость d пересекает плоскости a и b по прямым (56) и (7C) соответственно, точка их пересечения М расположена одновременно в трех плоскостях a, b, d и принадлежит прямой линии пересечения плоскостей a и b. Таким образом найдены две точки принадлежащие линии пересечения плоскостей a и b - прямая (КМ). Некоторого упрощения при построении линии пересечения плоскостей можно достичь, если вспомогательные секущие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость. Взаимно перпендикулярные плоскости. Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости a(f,h). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость a . Для того чтобы из точки А провести плоскость перпендикулярную плоскости заданной двумя пересекающимися прямыми hf необходимо из точки А провести прямую n перпендикулярную плоскости hf (горизонтальная проекция n перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h, фронтальная проекция n перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f). Любая плоскость проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости hf, поэтому для задания плоскости через точки А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми mn будет перпендикулярна плоскости hf (рис.7.4).
Рисунок 7.4. Взаимно перпендикулярные плоскости |
|||
Рис.
7.4.
Рис.
7.5.
