22 .Показательный закон

Определение: Непрерывная случайная величина X, функция плотности которой задается выражением

называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение.

Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий обычно подчиняется показательному распределению. Другими словами, величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению.

Как видно из формулы , показательное распределение определяется только одним параметром m.

Найдем функцию распределения показательного закона, используя свойства дифференциальной функции распределения:

Графики дифференциальной и интегральной функций показательного распределения имеют вид:

3.2. Числовые характеристики.

Используя формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения нетрудно убедится, что для показательного распределения

   .

Таким образом, для показательного распределения характерно, что среднее квадратическое отклонение численно равно математическому ожиданию.

Найдем вероятность попадания СВ в интервал (a,b):

3.3. Функция надежности.

Пусть некоторое устройство начинает работать в момент времени t₀ = 0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим через Т НСВ - длительность времени безотказной работы устройства. Если устройство проработало безотказно время меньшее t, то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ. Тогда функция распределения F(t)=P(T<t)=1- e^-t определяет вероятность отказа устройства за время t.

Найдем вероятность противоположного события- безотказной работы за время t:

.

Функция R(t) называется функцией надежности.

Выясним смысл числовых характеристик и параметра распределения.

Математическое ожидание - это среднее время между двумя ближайшими отказами устройства, а величина обратная математическому ожиданию (параметр распределения)- интенсивность отказов, т.е. количество отказов в единицу времени.

 

Пример. Время безотказной работы устройства распределено по закону

 

Найти среднее время безотказной работы устройства, вероятность того, что устройство не откажет за среднее время безотказной работы. Найти вероятность отказа за время t= 100 часов.

Решение:

По условию интенсивность отказов m =0,02. Тогда среднее время между двумя отказами, т.е. математическое ожидание М(Х)=1/0,02=50часов. Вероятность безотказной работы за этот промежуток времени вычислим по функции надежности:

По функции F(t) вычислим вероятность отказа за время t =100 часов:

40 Система уравнений Эрланга

Мы будем рассматривать СМО с отказами, удовлетворяющие следующим условиям:

Входной поток требований является простейшим с интенсивностью

Имеется n независимо работающих каналов обслуживания с одной и той же производительностью

Время обслуживания одной заявки одним каналом ( Т_обс) является случайной величиной , подчинённой показательному закону распределения с параметром

Если в момент поступления требования хотя бы один канал свободен, он немедленно приступает к обслуживанию.

Если в момент поступления требования все каналы заняты, требование покидает СМО

Из данного определения СМО вытекают следующие свойства:

Из первого условия вытекает, что две случайные величины, связанные с входным потоком требований, полностью определяются интенсивностью

Действительно, случайная величина Действительно, случайная величина - число требований, поступающих в СМО за время , подчинено закону Пуассона, то есть:

Где Р_к считается по формуле Р( =К) = , = 0, 1, 2,… (где а = * )

Случайная величина , равная промежутку времени между наступлением двух соседних требований имеет показательное распределение, определяемое по формуле

F(t)=1-

Время обслуживания одной заявки одним каналом (Т_обс) является случайной величиной, имеющей показательное распределение:

F(t)=P(T_обс<t)= 1- ,

Где - производительность одного канала обслуживания.

Из всего сказанного вытекает, что СМО с отказами, удовлетворяющее выше указанным условиям 1-5, полностью определяется тремя параметрами: , n,

Наше дальнейшее изучение СМО будет направлено на вывод формул для показателей эффективности работы СМО по входным данным , n, .

Рассмотрим СМО с параметрами , n,

Примером такой СМО является АТС в характерный небольшой период времени. В этом случае:

- среднее число вызовов, поступающих за единицу времени;

- среднее число телефонных разговоров на одной линии связи за единицу времени;

n- число линий связи.

В каждый момент времени t СМО может в зависимости от случая находиться в одном из состояний: S₀(t)- ноль занятых каналов ( все свободны),

S₁(t)- один занятый канал,

…………………………………………

S_n(t)- n занятых каналов (нет свободных).

P₀(t), P₁(t),…P_n(t).

Теория Эрланга. Пусть СМО удовлетворяет выше указанным пяти условиям. Тогда вероятности состояний Р_к(t), к=0, 1,… n удовлетворяют системе уравнений

Доказательство. Выведем первое уравнение (остальные выводятся аналогично). Зафиксируем момент времени t и рассмотрим близкий момент времени t+∆t

∆t

О сь времени

0 t t+∆t

Из определения СМО и малости ∆t следует:

За время ∆t в СМО может поступить практически не более одной заявки.

За время ∆t может быть обслужена практически не более одной заявки.

С учетом этого, а также теорем сложения и умножения вероятностей и используя формулы Р( =К) = , = 0, 1, 2,… (где а = * ); Р( = , где а= ; F(t)=P(T_обс<t)= 1- где t>0.

Имеем: (t+∆t)=Р ( в момент t+∆t СМО в состоянии )=Р (в момент t+∆t ноль занятых каналов)=Р( в момент t ноль занятых каналов, и за ∆t поступило ноль заявок, или в момент t один занятый канал и за ∆t обслужена одна заявка, и за ∆t поступило ноль заявок)=

= (t)· Р( (∆t)=0)+ t)F(∆t) Р( (∆t)=0)= Р( (∆t)=0) (t)+ t)F(∆t))= ( (t)+ t)(1- ))= ( (t)+ t)(1- )).

Вычтем из обеих частей равенства (t) и разделим на ∆t:

= (t) - (t) · .

∆t 0:

равенствами:

= 1; =a