39. Смо с отказами.

Мы будем рассматривать СМО с отказами, удовлетворяющие следующим условиям:

Входной поток требований является простейшим с интенсивностью .

Имеется n независимо рабочих каналов обслуживания с одной и той же производительностью .

Время обслуживания одной заявки одним каналом обс) является случайной величиной, подчиненной показательному закону распределения с параметром .

Если в момент поступления требования хотя бы один канал свободен, он немедленно приступает к обслуживанию.

Если в момент поступления требования все каналы заняты, требование покидает СМО.

Из данного определения СМО вытекает следующие свойства:

. Из первого условия вытекает, что две случайные величины, связанные с входным потоком требований, полностью определяется интенсивностью .

– число требований, поступающих в СМО за время , подчинено закону Пуассона, то есть:

Где Р считается по формуле Р( = ) = , = 0,1,2,…. Где а =

Случайная величина , равная промежутку времени между наступлением двух соседних требований имеет показательное распределение, определяемое формулой F(t)=1-

. Время обслуживания одной заявки одним каналом обс) является случайной величиной, имеющей показательное распределение:

F(t)= P(Tобс < t) = 1 -

где -производительность одного канала обслуживания.

Из всего сказанного вытекает, что СМО с отказами, удовлетворяющее выше указанным условиям 1-5, полностью определяется тремя параметрами:

Наше дальнейшее изучение СМО будет направлено на вывод формул для показателей эффективности работы СМО по входным данным

Рассмотрим СМО с параметрами

Примером такого СМО является АТС в характерный небольшой период времени. В этом случае:

- среднее число вызовов, поступающих в единицу времени;

- среднее число телефонных разговоров на одной линии связи за единицу времени;

– число линий связи.

t СМО может в зависимости от случая находиться в одном из состояний:

So(t) – ноль занятых каналов (все свободны)

S1(t) – один занятый канал,

…………………………………………….

Sn(t) – n занятых каналов (нет свободных).

Обозначим вероятность этих состояний:

Ро(t), P1 (t), ……Pn (t).

48.Выборочные оценки для математического ожидания и дисперсии.

Для выполнения инженерных расходов, связанных с прогнозированием по массовым случайным явлениям и основанных на методах теории вероятностей, необходимо знать параметры случайной величин, участвующих в этих расчетах: математическое ожидание, дисперсию и т.д.

На практике эти параметры находятся приближенно по данным опыта.

Пусть с испытанием связана случайная величина с неизвестным параметром , и пусть в результате серии независимых испытаний получена выборка х1,Х2,…..хn. В качестве приближенного значения параметра принимают надлежащим образом выборную комбинацию элементов выборки х1,Х2,…..хn.

= (х1,Х2,…..хn).

Величина называется выборочной оценкой параметра .

В выборочным оценкам представляются следующие три основных требования: состоятельность, несмещенность, эффективность.

Чтобы были понятны даваемые далее определения этих понятий, обратим внимание на следующее: до выполнения испытаний числа х1,Х2,…..хn представляют собой независимые случайные величины, подчиненные одному и тому же закону распределения, совпадающему с законом распределения случайной величины , поэтому также является случайной величиной, и имеет смысл говорить о математическом ожидании, дисперсии, СКО и т.д. случайной величины .

Оценка называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки

сходится по вероятности к истинному значению параметра :

при n ∞.

при достаточно большом объеме выборки с практической достоверностью ( с вероятностью, близкой к единице) практически совпадает с истинным значением .

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание совпадает истинным значением параметра : M[ ]= .

Оценка называется эффективной , если она несмещенная и при этом имеет наименьшую дисперсию (наименьший разброс относительно ) по сравнению с другими несмещенными оценками параметра .