Вопрос 18. Переход к пределу в неравенствах. Последовательности ограниченные и неограниченные.

Теорема 3 (о переходе к пределу в неравенстве). Если lim_nx_n=a_, lim_ny_n=b, a , b и для nN, x_n≥y_n то  a≥b.

Доказательство: Если бы оказалось что a<b, то согласно Лемме 1, нашелся бы n₀ что для n>n₀ выполнялось бы неравенство x_n<y_n что против x_n≥y_n.

Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений ограниченно сверху (снизу).

Иначе говоря последовательность {x_n} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число сR, что для nR выполняется неравенство x_n≤c (x_n≥c).

Последовательность ограниченная как сверху так и снизу называется ограниченной.

Последовательность не являющаяся ограниченной сверху (снизу), называется неограниченной.

Вопрос 19. Ограниченность сходящихся числовых последовательностей.

Теорема. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Доказательство: Пусть lim_nx_n=a, тогда согласно определению предела, существует n₀, что для всех n>n₀, |x_n-a|<1(1) (в определении предела взяли =1). Обозначим через d наибольший из чисел d=max{1, |x_n-a|…|x_n0-a|} тогда в силу (1) для n>N имеем a-d≤x_n≤a+d

Вопрос 20. Бесконечно малые последовательности и их свойства.

Числовая последовательность, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой.

Свойства б.м. последовательностей:

1. Любая конечная, линейная комбинация б.м. последовательностей является бесконечно малой.

Доказательство: Пусть {α_n} и {β_n} б.м. последовательности a λ и μR, >0, c>|λ|+|μ| тогда существует n₀, что для любого n>n₀ выполняется неравенство |α_n|< , |β_n|< , отсюда |λα_n+μβ_n| ≤ |λ||α_n|+|μ||β_n| ≤ (|λ|+|μ|) , a это означает что λ{α_n}+μ{β_n} бесконечно малая последовательность.

2. Произведение бесконечно малых последовательностей на ограниченную последовательность является бесконечно малой.

Доказательство: Пусть lim_nα_n=0, а {x_n} ограниченная последовательность т.е. с>0, что для всех nN выполняется |x_n|≤c, возьмем ≥0, тогда по определению предела существует n₀, что для всех n>n₀ выполняется неравенство |α_n|≤ , при n>n₀, |α_nx_n|=|α_n||x_n|< c=, а это и означает что {α_nx_n} бесконечно малая последовательность.

Вопрос 21. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями над последовательностями (lim(x_n+y_n), lim(x_ny_n)).

2. Конечная, линейная комбинация сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью и ее предел равен такой же линейной комбинации предела данных последовательностей.

Доказательство: lim x_n=a, lim y_n=b, a и bR тогда в силу леммы 1, x_n=a+α_n, y_n=b+β_n, где {α_n} {β_n}- б.м. Пусть λ, μR, λx_n+μy_n=λa+μb+λα_n+μβ_n, n=1,2… по свойству 1 §4 (любая конечная, линейная комбинация б.м. является б.м.), {λα_n+μβ_n}- б.м. Поэтому в силу леммы 1, lim_n(λx_n+μy_n)=λa+μb.

3. Если последовательности {x_n} и {y_n} сходятся, то их произведения также сходятся и их пределы lim(x_ny_n)= lim x_nlim y_n.

Доказательство: Пусть lim x_n=a, lim y_n=b, тогда x_n=a+α_n, y_n=b+β_n, где {α_n}, {β_n} – б.м. поэтому x_ny_n=(a+α_n)(b+β_n)=ab+(bα_n+aβ_n+α_nβ_n)=γ_m, где {γ_m} – б.м.(см. св.1,2 §4)(1.любая конечная, линейная комбинация б.м. является б.м.; 2. Произведение б.м. последовательностей на ограниченную последовательность является б.м.). Отсюда из леммы 1 получаем предел lim_nx_ny_n=ab.