Вопрос 8. Принцип Архимеда.

Теорема 1. Каково бы ни было число aR существует натуральное число пN: n>a.

Доказательство: Предположим противное: найдется такое число а, что для всех пN выполняется неравенство n≤a, следовательно а ограничивает N сверху по теореме §6, у множества N ограниченного сверху существует точная верхняя грань β = sup N. Тогда по определению верхней грани для числа β’:=β-1,  пN: п> β-1. Но тогда п+1> β, что противоречит тому, что β = sup N.

Вопрос 9. Система вложенных отрезков и теорема о ее пересечении.

Система вложенных отрезков – система отрезков [a₁,b₁], [a₂,b₂], [a_n,b_n], a_nR, b_nR, n=1,2… называется системой вложенных отрезков если a₁≤a₂≤a_n, b₁b₂b_n, [a₁,b₁][a₂,b₂][a_n,b_n].

Теорема 1. Всякая система вложенных отрезков имеет непустое пересечение.

Доказательство: Обозначим через A множество всех левых концов A={a_n}, a В всех правых B={b_n}, для любых номеров m,nN выполняется неравенство a_m≤b_n. По свойству непрерывности действительных чисел существует число ξ(кси), a_m≤ ξ ≤b_n, a_n≤ ξ ≤b_n, n=1,2,… и означает что точка ξ принадлежит ко всем отрезкам [a_n,b_n].

Вопрос 10. Теорема о вложенных отрезках, длины которых стремятся к нулю.

Теорема 2. Для всякой системы вложенных отрезков [a_n,b_n] длины которых стремятся к нулю, существует единственная точка ξ принадлежащая всем отрезкам данной системы, при этом ξ = sup{a_n} = inf{b_n}.

Доказательство: В силу данной теоремы хотя бы одна точка имеется. Покажем, что их не может быть больше одной. Пусть это не так, т.е. две ξ и η – общие для всех отрезков системы. Пусть η< ξ, т.е. := ξ-η>0. По определению стягивающейся системы отрезков nN: b_n-a_n< , тогда a_n≤η<ξ≤b_n, отсюда ξ-η≤ξ-a_n≤b_n-a_n<, что противоречит выбору .

Вопрос 11. Множества равномощные, конечные и бесконечные, счетные. Примеры.

Два множества X и Y между которыми можно установит взаимно однозначное соответствие (биекцию), равномощными (эквивалентными), говорят, что они имеют одну и ту же мощность («одинаковое» количество элементов) (пишут X~Y).

Пример: N~{2,4,6,8,10…}, N~Z,

Множество Х называется конечным, если существует n, X={1,2,…n}.

Множество, не являющееся конечным является бесконечным.

Множество называется счетным если оно эквивалентно множеству натуральных чисел(X~N).

Вопрос 12. Счетность множества рациональных чисел.

Теорема 1. Множество рациональных чисел счетно.

Доказательство: Распределим все рациональные числа в таблице содержащей бесконечное число строк и столбцов:

	0	1	-1	2	-2	…
1	0/1	1	-1	2/1	-2/1	…
2	0/2	1/2	-1/2	1	-1	…
3	0/3	1/3	-1/3	2/3	-2/3	…
…	…	…	…	…	…	…

Нумеруем все числа, кроме тех что уже встречались. В результате все рациональные числа оказываются занумерованными, т.е. множество Y рациональных чисел счетно.