Вопрос 45. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

Функция f:ЕR называется равномерно непрерывной на множестве Е если для >0 найдется >0, такое что для x₁,x₂E, таких что |x₁-x₂|<, выполнено |f(x₁)-f(x₂)|<.

Теорема (Кантор). Функция непрерывная на отрезке [a,b] равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Предположим противное ₀>0 такое что для >0, найдется x',x″[a,b], |x'-x″|<, но при этом |f(x')-f(x″)|≥₀. Возьмем {_n}, _n0 при n, тогда найдутся значения x'_n, x″_n[a,b], такие что |x'_n-x″_n|<_n, тогда как |f(x'_n)-f(x″_n)|≥₀, по теореме (Больцано-Вейерштраса) из ограниченной последовательности {x'_n} можно извлечь сходящуюся подпоследовательность {x'_nk}, x'_nk0, при k т.к. |x'_nk-x″_nk|<_nk, то x″_nk также сходится к x₀, k. Поэтому ввиду непрерывности функции в точке х₀, переход к пределу в неравенство |f(x'_nk)-f(x″_nk)|≥₀ даст 0=|f(x₀)-f(x₀)|≥₀ (₀>0), что противоречит. (в этом доказательстве x₀_n, lim_n=x₀)

Вопрос 46. Определение показательной функции на основе теории предела. Корректность определения.

Определение показ. функции. Пусть a>0,xR,r_nx, n, r_nQ,положим a^x:=lim_na^rn (1)

Утверждение: определение корректно, т.е. предел (1) существует и не зависит от выбора {r_n}.

Доказательство. Пусть r_nx, покажем что {a^rn} является фундаментальной. Имеем |a^rn-a^rm|=a^rm|a^rn-rm-1| (2). Последовательность {r_n} сходится и следовательно ограниченна. При этом очевидно AQ, при этом всем номерам nN, выполняется –А<r_n<A, отсюда при а≥1 имеем a^-A≤a^rn≤a^A. Поэтому при а>0 B такое что a^rn≤В (3) для nN (B=a^A, при a>1; B=a^-A, при a<1).

По лемме 2 >0 =()>0, такое что для rQ, |r|< выполняется |a^r-1|< (4). Из сходимости {r_n} что для найденного  n_, такое что для всех номеров n>n_; m>n_, |r_n-r_m|<, поэтому в силу (2)(3)(4) |a^rn-a^rm|<B =. В силу критерия Коши последовательность {a^rn} сходится.

Пусть теперь {r_n}x, r_nQ, покажем что lim_n∞a^rn = lim_n∞a^rn, составим новую последовательность {r_n}={r₁, r₁, r₂, r₂…r_n, r_n} очевидно r_nx, поэтому в силу доказанного  lim a^rn , отсюда для ее последовательности имеем lim_na^rn= lim_na^rn= lim_na^rn

Вопрос 47. Свойства показательной функции (пять свойств).

1. a>1, a^x (строго возрастает) на R; a<1, a^x на R.

2. a^xa^y=a^x+y, x,yR.

3. (a^x)^y=a^xy.

4. Функция a^x непрерывна на R.

5. Множеством значений a^x является множество R₊=(0;+∞).

Доказательства:

1. Пусть для определенности a>1, x<y.  такие иррац. числа r, r, такие что x<r<r<y, выберем какие либо посл-ти иррациональных чисел {r_n}, {r_n}, r_n<r<r<r_n для  номеров nN и что r_nx, r_ny при n∞, тогда a^rn< a^r<a^r< a^rn, перейдя к пределу при n∞ получим a^x< a^r<a^r< a^y. В случай a<1 рассм. аналогично.

2. Пусть r_nx, r_ny, r_n,r_nQ, значит r_n+r_nx+y, тогда в силу опред. показ. ф-ции a^x+y=lim_n∞a^rn+rn= lim_n∞a^rnlim_n∞a^rn=a^xa^y. Отметим, что из того что a^xa^-x=a⁰=1 следует равенство a^-x= , отсюда же с учетом монот. a^x (либо a^x>1, либо a^-x>1),  a^x>0, для xR.

3. Поверим в начале, что свойство 3 имеет место при  иррац. y. Если y=mN, то (a^x)^m=a^x…a^x=a^x+…+x=a^xm; если y= , nN то (a^x)^1/n=a^x/n т.к. по доказанному (a^x/n)ⁿ=a^x; если y= , m,nN, то (a^x)^-m/n= = = a^-xm/n. Пусть задана уR, рассм. произведение посл. r_n рац. чисел сходящ. к у (r_ny) тогда (a^x)^rn=a^xrn, переходя в этом равенстве к пределу пользуясь определением показ. ф-ции и ее непрерывн. получим (a^x)^y=a^xy.

4. Для >0 >0, что для hR таких что |h|<, вып. нер-во |aⁿ-1|<. Пусть х фиксир., y=a^x, ∆y=a^x+∆x-a^x=a^x(a^∆x-1). Согласно сказанному для >0 >0 что для ∆х, таких что |∆х|<, выполн. нер-во |a^∆x-1|</a^x отсюда при |∆х|< имеем |∆y|=a^x|a^∆x-1|<, что обознач. непрерывн. ф-ции а^х в точке х.

5. При a>1 в силу непрер. и возр. ф-ции y=a^x достаточно показать что lim_х+a^х=-∞, lim_х-a^х=0, поскольку пределы (кон. или бескон.) существуют, для этого дост. заметить что для nN, lim_хaⁿ=+∞, lim_хa^-n =0, при a<1, b=1/a>1, lim_х+a^х=lim_х+1/x=0, lim_х-a^х=lim_х-1/b=+∞.