6.2.2. Умови рівноваги довільної плоскої системи сил
Як
відомо (п. 5.5), довільна система сил у
площині в загальному випадку зводиться
у центрі О
до сили
,
яка дорівнює головному вектору
системи, і пари сил з моментом
,
який дорівнює головному моменту
системи. При цьому головний вектор
належить площині дії пари
,
що співпадає з площиною дії сил системи.
Для даної системи сил існують три окремі випадки рівноваги.
Перша
(основна) форма умов рівноваги. Припустимо,
що площина дії системи сил
співпадає з координатною площиною
(рис. 6.2) системи координат
.
Рис. 6.2
Проекції сил системи, а також радіусів-векторів точок їх прикладання на вісь в даному випадку дорівнюють нулю. Тому система умов рівноваги (6.2) перетворюється в наступну:
; 
; 
. (6.4)
Система
(6.4) аналітичних (алгебраїчних) умов
рівноваги твердого тіла формулюється
таким чином: для рівноваги довільної
системи сил у площині необхідно і
достатньо, щоб суми проекцій усіх сил
на кожну з координатних осей Ox
i
Oy
і алгебраїчна сума їх моментів відносно
осі
(або довільного центра О
в площині дії сил системи
),
дорівнювали нулю.
Друга форма умов рівноваги. У даному випадку умови рівноваги формулюються так: для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми моментів сил відносно будь-яких двох точок у площині дії сил і сума проекцій цих сил на вісь, яка не перпендикулярна до прямої, що проходить через обрані точки, дорівнювали нулю. Для площини Е дії сил системи, точок В, С на ній і осі Ox (рис. 6.3) буде:
;
;
, (6.5)
де
- проекція головного вектора системи
сил у точці В
на вісь Ох.
Рис. 6.3
Необхідність
цих умов очевидна, бо якщо будь-яка з
умов не буде виконуватися, то або в точці
В
головний вектор системи
0,
або головний момент
0
(чи
)
і тоді рівноваги тіла не відбувається.
Достатність
умов (6.5) доведемо наступним чином. Якщо
виконуються тільки перші з двох умов
(6.5), тобто
і
,
то така система сил може мати лише
рівнодійну
(рис. 6.3), лінія дії якої проходить через
точки В
і С.
Оскільки вісь Ox
проходить
під кутом
до відрізка ВС,
то остання умова (6.5) може бути виконана
тільки коли
,
тобто коли
.
Це призводить до одночасного виконання
всіх умов (6.5), що забезпечують рівновагу
тіла безумовно.
Третя форма умов рівноваги. Ця форма умов рівноваги формулюється таким чином: для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчні суми моментів усіх сил відносно будь-яких трьох точок, наприклад В,С,D, що не лежать на одній прямій, дорівнювали нулю (рис. 6.4):
;
;
, (6.6)
де В,С,D - точки приведення системи сил.
Рис. 6.4
Необхідність
цих умов, враховуючи (5.11), очевидна, бо
при одночасному виконанні, наприклад
двох перших умов, головний момент системи
при
може дорівнювати нулю у третій точці D
тільки коли головний вектор
системи сил дорівнює нулю. Тому при
одночасному виконанні умов (6.6) виконуються
умови (6.1) рівноваги тіла і воно буде у
рівновазі.
Достатність умов (6.6) випливає з того, що при їх виконанні система сил не знаходилася б у рівновазі тільки у випадку, коли її відмінна від нуля рівнодійна проходила одночасно через всі три точки BCD площини Е, що неможливо за визначенням.